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gola per la moltiplicazione delle serie rimane condizionata (come dirò al 



B. 3) (*). 



In questa Nota mi propongo di riguadagnare ad usura il perduto, tras- 

 formando ancora il metodo esponenziale in un nuovo metodo più potente del 

 metodo Bg, ed anche di quelli di Cesàro e di Eulero, e nel quale valgono 

 incondizionatamente tutte le operazioni lecite sulle serie assolutamente con- 

 vergenti ( 5 ). 



A tale scopo conviene richiamare alcuni risultati. 



2. Una serie 



(1) U -f- Ui -\- u s -\ 



è (N, n. 1) sommabile (B,r) quando la serie 



(2) u lrì («) = X *W — i («»+r=0 se w+r<0) 

 è una trascendente intera e l'integrale 



e- a u lrì (a) da (a > 0) 



u 



è convergente; allora la (1) ha per somma u questo integrale, aumentato 

 di u -f- Ui -4- • • • -f- ^r~i se r > 0. 



La (1) è sommabile Bg se (N, n. 2) è sommabile con qualcuno dei 

 metodi così definiti : 



(4) (B , — 2) , (B , — 1) , (B , 0) , (B , 1) , (B , 2) , 



3. Nella Nota cit. in ( 4 ), ho chiamato assolutamente sommabile (B , r) 

 la (1) quando la convergenza di (3) è assoluta, ed ho dimostrato che tutti 

 i teoremi enunciati nel n. 3 di N, incluso il teorema V relativo alla mol- 

 tiplicazione ( 6 ), sussistono se in essi si premette la parola « assolutamente » 

 alla parola « sommabile » . 



Se si chiama assolutamente sommabile Bg una serie quando è assolu- 

 tamente sommabile con qualcuno dei metodi (4) ( 7 ), si possono riassumere 



( 4 ) In seguito a ciò vanno apportate a N alcune correzioni. Va soppresso il teor. V 

 e la nota ( 2 ) di pag. 605, e la parola « assolutamente » nella linea 16 di pag. 604 e nelle 

 linee 4 e 6 di pag. 606; poi nell'enunciato del teor. Ili va cambiato r^LS in r<.s, e 

 in quello del coroll. 2° va cambiato ri in — n. La parola « assolutamente » va anche 

 soppressa dalla linea 7 della pag. 77 di un'altra Nota di questi Rendiconti (voi. XXVI, 

 serie 5 a , 2° sem., fase. 4°, pag. 77). 



( 5 ) Inclusa la moltiplicazione. (È solo vietato di alterare l'ordine dei termini al di là 

 di qualunque posto). 



( 9 ) Da sopprimersi, giusta la nota ( 4 ). 



(') Sono dunque particolari serie sommabili Bg; ma più generali delle assoluta- 

 mente sommabili con tutti i metodi (4), considerato dal Borei. 



