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i nuovi teoremi che così si ottengono, dicendo che alle serie assolutamente 

 sommabili Bg sono applicabili incondizionatamente tutte le operazioni le- 

 cite sulle serie assolutamente convergenti ( 8 ). 



Poiché, per esempio, allora segue dal teor. V (modificato) che: 



A) Se due serie 



(C) u + «i + Ut H , v -f- vi + v 2 -\ 



sono assolutamente sommabili Bg ed hanno per somma u e v rispettiva- 

 mente, anche la serie prodotto 



(6) W + W x + Wì H (W n = U V n + ?'l »n-l H + Un V ) 



è assolutamente sommabile Bg ed ha per somma w = uv. 



4. Occorre anche richiamare qualche proprietà della serie di potenze 



(7) u -\- U } X -\-U2X 2 -\- ■ • ' + u n oc" -\ 



considerata solo per i valori reali e non negativi di x. 



B) L'insieme dei valori (reali, non negativi) di x , per i quali 

 la (7) è sommabile Bg, è un intervallo (0 , g) , rf<z£ <^#/e va forse escluso 

 l'estremo g ( 9 ). 



Per ciascun x' di tali valori di x, la (7) sarà dunque sommabile (B . r) 

 per qualche valore di r, e perciò ( 10 ) sarà assolutamente sommabile 

 (B , r — 1) per tutti i valori x dell'intervallo (Q,x'), tranne forse per 

 x — x'. Ora, poiché ciò vale per ogni x di (0,g), vicino a g quanto si 

 vuole, si conclude che: 



C) Per tutti i valori x di (0 , g) , tranne forse per x = g , la (7) 

 è assolutamente sommabile Bg. 



La somma u(x) della (7), interpretata col metodo Bg, è dunque una 

 funzione di x definita in (0,g), tranne forse nell'estremo g. Essa gode di 

 varie proprietà, fra le quali rilevo la seguente ( 11 ): 



D) La funzione u(x) è continua in (0 , g) , incluso g se ivi esiste, 

 cioè se ivi la (7) è sommabile Bg. 



5. Tutto ciò premesso, passo a definire il nuovo metodo di sommazione 

 annunziato nel n. 1, che indicherò con EBg, essendo una composizione del 

 metodo Bg e di quello di Eulero. 



1 



l 8 ) Cfr. («). 



( 9 ) CifS segue dal n. 15 di una mia Nota degli Atti della R. Acc. delle Scienze di 

 Torino, voi. LUI, 1917, pag. 102. 



( 10 ) Per un teorema del n. 3 di una mia Nota di questi Rendiconti, voi. XXVII, 

 serie 5 a , 1° sera., fase. 2°, png, 98. 



( u ) Cfr. il n. 8 di una mia Nota degli Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino 

 (voi. LIX, 1918, pag. 171). 



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