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Dirò che una serie (1) è sommabile EBg quando la corrispondente- 

 serie di potenze (7) è sommabile Bg per < x < 1 , ed inoltre esiste ed 

 è finito il 



(8) lim u(x) = u , 



X=l-0 



che allora chiamerò somma della serie (1). 



Dai risultati del n. 3 e dai teoremi A e C, si deduce facilmente che 

 Alle serie sommabili EBg sono applicabili incondizionatamente tulte 

 le operazioni ( 12 ) lecite sulle sene assolutamente convergenti ( 13 ). 



Si ha per esempio: se due serie (5) sono sommabili EBg ed hanno 

 per somma u e v rispettivamente, anche la serie prodotto (6) è somma- 

 bile EBg ed ha per somma uv . 



Infatti, giusta l'ipotesi, le serie (7) e 



v(x) = V + Vi x + v t x* + • • ■ 



sono sommabili Bg per -< x < 1 , anzi lo sono assolutamente (per il teo- 

 rema C); quindi (per il teorema A) si può asserire che la loro serie-prodotto 

 formata con la legge (6), ossia 



w + ^o j ce -j- w 2 x 2 -j- • • • , 



è pure (assolutamente) sommabile Bg per <. x < 1 ed ha per somma 

 w(x) = u(x) v(x) . Ma dall'ipotesi si ha inoltre 



lim u(x) = u , lim v(x) - v ; 



X=\ — X=l — 



quindi è 



lim w(x) = uv . 



a;=l— o 



Tutto ciò prova che la (6) è sommabile EBg ed ha per somma uv . 



6. Per giustificare pienamente quanto ho asserito in fine del n. 1, resta 

 da dimostrare che il metodo EBg è più potente del metodo Bg e dei me- 

 todi di Cesàro e di Eulero. 



Ciò equivale a dire che se una serie (1) è sommabile Bg o col me- 

 todo di Cesàro o con quello di Eulero ed ha per somma u, è pure som- 

 mabile EBg ed ha ugual somma {ma non viceversa). 



Poiché il metodo di Cesàro è meno potente di quello di Eulero ( 14 ), 

 basterà considerare quest'ultimo e Bg. 



( 12 ) Cfr. 



( 13 ) Di questa importante proprietà già godevano il metodo di Cesàro (come era 

 noto) e quello di Eulero (come ho dimostrato in una Nota di questi Rendiconti, t. XXVIII^ 

 serie 5", 1° sem., fase. 12, pag. 397). 



• (") Cfr. la fine della Nota cit. in ( 1S ). 



