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Se la (1) è sommabile con somma u col metodo di Eulero, vuol dire ( 15 ) 

 che, per < x <C 1, la (7) è convergente, quindi è sommabile Bg (N, n. 2), 

 e che la sua somma u(x) soddisfa la (8); e ciò prova che la (1) è anche 

 sommabile EBg con somma u. 



Dire che la (1) è sommabile Bg ed ha per somma u, è come dire che 

 la (7) per x = 1 è sommabile Bg con somma u , e quindi (per il teor. B) 

 è sommabile Bg per <. x < 1. Ora la sua somma u(x) , che per x = 1 

 vale u , è funzione continua in questo intervallo, estremo 1 incluso (per il 

 teor. D) ; quindi sussiste la (8). Ciò prova che la (1) è anche sommabile 

 EBg con somma u . 



Resta da dimostrare che una serie sommabile EBg non sempre è anche 

 sommabile Bg o col metodo di Eulero. A tale scopo basta dare un esempio. 



La serie di potenze (7) corrispondente alla serie numerica 



(9) 1 + (1 + i) + (1 -f- if -| f (1 +.«)» + • • • 



è 



(10) 1 +(1 +i)x + (1 + i) 2 x 2 H h(l +i) n x n + ••■ 



e non è convergente per < x <C 1 (ma solo per < x < 1 : \/2); e ciò 

 basta per concludere che la (9) non è sommabile col metodo di Eulero. 

 Poi la serie (2) corrispondente alla (10), 



u irì (a) = £ (i + i) n + r x n+r — = (1 -\-i) r x r e a * i)Ka ( 16 ), 



è trascendente intera in a per ogni x , e il corrispondente integrale (3) è 



J" 00 

 e (i+r)«a-a ^ a ( a > q). 

 o 



( 00 



Per x = 1 esso ai riduce (a parte il tattore esterno) a I e' a da , 



che è divergente; dunque la (10) per x = 1 , ossia la (9), non è somma- 

 bile Bg. 



Invece, per 0<a?-<l l'integrale (11) è convergente; anzi lo è assolu- 

 tamente, perchè, sostituendo all'integrando il suo modulo e xrx -~°-, si ha un 

 integrale convergente per tali valori di x. Dunque la (10) è sommabile 

 (B , r) (per ogni r) : quindi è sommabile Bg per < x < 1. La sua somma 



( ,s ) Per definizione. Cfr. la Nota cit. in ( 13 ). 

 Escludendo il valore x — 0, se r<0. 



