Matematica. — Sulla rappresentazione analitica di una falda 

 di una superficie mediante serie procedenti per le potenze fratte 

 di due variabili. Nota del dott Oscar Chisini, presentata dal Cor- 

 rispondente F. Enriques. 



1. In una precedente Nota, intitolata Sugli incroci delle curve di di- 

 ramazione di una funzione algebrica di due variabili (*), ho dimostrato 

 che le due sostituzioni A e B, relative a due parti a e b della curva di 

 diramazione per una funzione algebrica z{xy) nell'intorno di un punto 

 Po = (^o 'I/o), sono fra loro permutabili quando le a e b passino per P sem- 

 plicemente e sènza contatto, A e B generando un gruppo abeliano G. 



In questa Nota mi propongo di esaminare più precisamente la struttura 

 di tale gruppo, e dedurne la rappresentazione analitica, mediante serie, della 

 funzione algebrica z(xy). 



E conviene esplicitamente osservare che, potendosi supporre gli assi orien- 

 tati in modo generico, l'incrocio delle due curve di diramazione corrispon- 

 derà a un incrocio di due curve multiple della superficie, origine di falde 

 superlineari, o a un punto di una curva multipla che sia base per il sistema 

 delle curve staccate su essa dalle sue superficie polari. 



2. Il gruppo generato dalle due sostituzioni A e B potrà, in generale, 

 non essere transitivo: si ha per esempio questo caso quando il punto P cor- 

 risponda ad una bitaugente (propria od impropria) della superficie f(xy) = 

 parallela all'asse z; le due sostituzioni A e B vengono allora a corrispon- 

 dere a due falde distinte della superficie, ed operano su due coppie distinte 

 di valori di z 



A = (zi z 2 ) , B = (i 3 *4). 



Dunque, se il gruppo G generato dalle sostituzioni A e B non è tran- 

 sitivo, potremo distinguere tante falde della superficie [per il punto {xy) 

 variabile nell'intorno di F ] quanti sono i sistemi di transitività in cui si 

 possono dividere le n determinazioni di z: le due sostituzioni A e B sa- 

 ranno permutabili anche quando si considerino operare su un solo sistema 

 di transitività. 



Si consideri ora una falda della superficie f(xyz) — 0. la quale abbia 

 per origine il punto P di coordinate (0 0); la falda sia di un certo ordine 

 r^>l, e la funzione algebrica z, da essa definita nell'intorno del punto 



(') Questi Rendiconti, voi. XXIX, 1° seni., pag.^127. 



