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P = (x — , tj = 0), abbia una curva di diramazione la quale passi pre- 

 cisamente per il punto P con due parti o rami lineari a e b a tangenti 

 distinte. Le due sostituzioni A e B, relative ad a e b, saranno ora 

 considerate operaie solamente sulle r determinazioni di 2, relative alla nostra 

 falda, e il loro gruppo G risulterà transitivo. 



Ci proponiamo qui di esaminare i/uale possa essere il gruppo abe- 

 liano G generato dalle due sostituzioni permutabili A e B ; faremo vedere 

 come esso sia univocamente determinato dai periodi /* e v delle sostituzioni 

 A e B, e da! numero r delle lettere su cui esse operano. 



La sostituzione A si comporrà, in generale, di più cicli 



A t , A 2 , A 3 , ... A a , 



e potremo scrivere 



A = Aj A 2 A3 ... Aa . 



• 



Siccome A è invariante nel gruppo transitivo G , essa opererà su tutte 

 le r lettere, e i vari cicli A, A 2 ... A a conterranno un medesimo numero ;x 

 di elementi: avremo dunque r~«,u, e, distinguendo le r determinazioni 

 di 2 con due indici, potremo scrivere 



A = 2 i2 ... Zip) (221 3n ... . . . (Sai £<xs •■• %ay) i 



essendo 



Ai - (Su S ( 2 ••• 



A2 == (^21 £22 ••• ^2[l) 



Aa — ■ (2ai 2a2 ••• 2afi) • 



La sostituzione B deve lasciare invariata la A , ma non i singoli cicli, 

 altrimenti G non sarebbe transitivo, e potremo supporre che essa porti A, 

 in A 2 , A 2 in A 3 . . . A a in A! : avremo così che B a lascia fermi i cicli di A; 

 ove B a porti z u in s m+ì , sarà 



B a = A m , 



perchè l'operazione A _m B a , lasciando fermo 2 U ed essendo invariante nel 

 gruppo transitivo G, deve lasciar ferme tutte le r determinazioni di 2. 



i> 



Essendo v il periodo di B, sarà h = — il periodo di B a , e quindi 



auche di A m ; il prodotto firn appare cosi in minimo multiplo comune di m 

 e di /< , onde, indicando con à il massimo comun divisore di m e fi, si ha 



Rendiconti. 1920. Voi. XXIX, 1° Sem. 



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