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Posto ora 



m 



k risulta primo con n e quindi A fc genera tutto il gruppo ciclico generato 

 dalla operazione A; essendo poi 



m = k ~ , 



fi 



si ha 



B a _ {k y m 



Ponendo = g tì , g' i2 = g ifi+i , z' iz - z iM+ì . . (i ' = 1 , 2 ... a) e indi- 

 cando con A' la potenza A-esima di A, potremo scrivere 



*A = A h = (£u g\ t ... ^ijj.) (#2i 2 2 z •■• Ò2[x) ••• (^'oi 2 m >•• 2 r <x\j) 



B a = A' 8 



B = {Z\i Zn ... 2 ai ^ì.S+i ••• £ a,fcò— 8+i) 



A =A'f 



dove f è un numero primo con fi . 

 Essendo 



r = ^r , à = ^- , k—^-, kp=\ (mod /*) , 

 /j re o 



si ha che il gruppo G è determinato dai tre valori dì fi ,v , h , e le ope- 

 razioni A e B risultano in esso fissate ove si dia anche il numero m (po- 

 tenza di A, cui è uguale B a ), il quale è definito, a meno di un fattore primo 



con u. dalla circostanza che -v- è il massimo comun divisore di u ed m. 



h 



Se h— 1, risulta a = v, A e B riescono indipendenti ed è 

 B = (g'u s'a . . . g'n) 



essendo ó = (mod fi). 



3. Ciò posto, vediamo come si ottenga la rappresentazione analitica 

 della falda, supponendo dapprima, per semplicità, che le due curve di di- 

 ramazione a e b siano rispettivamente gli assi x = e y = 0. Poniamo 



x = «f- , «/ = y v ; 



allora la 5 appare funzione uniforme del punto (u , y) e quindi (*) si potrà 

 sviluppare per le potenze di u e v 



(1) z = 22 a^u* v* . 



(*) Cfr. p. es. Picard, TVatW d'analyse, Paris, 1893, tom. II, pag. 237. 



