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Ma la funzione 2, così scritta, appare una funzione del punto (xy) 



vu, 



a v/x determinazioni, mentre la falda è di un ordine r = — , sicché, ove 



sia h > 1 , occorre che i coefficienti assumano valori particolari ; inoltre 

 il punto (uv) non riesce più funzione univoca del punto (xy 2) della falda, 

 ma funzione ad h determinazioni, la falda venendo così rappresentata non 

 sul piano (uv) ma sopra un'involuzione di questo piano. 



Sorge così il problema di determinare più esattamente il tipo dello 

 sviluppo di 2, in modo che la falda venga rappresentata biunivocamente su 

 un piano. 



Ciò riesce nel modo più semplice nel caso in cui h = v ; allora si ha 

 fi = r , a — 1 , sicché B risulta una potenza di A : B = A m . 

 In tale ipotesi si ponga 



ui'- ~ xy m , v — y ; 



allora g, subendo le medesime sostituzioni che il punto (uv), appare fun- 

 zione univoca (ed univocamente invertibile) di questo, e si ha uno sviluppo 



2 = 22 ai* u* o k , 



. che risulta un caso particolare di quello dato precedentemente 



Più complessa riesce invece la rappresentazione nel caso di h qualunque. 

 Si ponga 



_L * * 

 u = x I* y H , v — y H ; 



cc/c 



essendo k ed li primi fra di loro, m — — — , si ha che il punto (uv) ri- 



[IV v 



vu 



sulta funzione del punto (xy) ad r — —— determinazioni: al girare del 



IO 



punto (xy) intorno ad x = e ad j/ = 0, queste r determinazioni si per- 

 mutano secondo due sostituzioni A e B di periodi fi e v, e tali che 



A m = B a , 



sicché il punto (uv) ha lo stesso gruppo di monodromia che il punto (xyg) 

 della nostra falda. 



Pertanto si ha per 2 lo sviluppo in serie 



2 — 22 dot u* v k , 



e la falda viene rappresentata biunivocamente sul piano (uv) nell'intorno 

 di u = , v = . 



