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Più in generale, in luogo di porre 



I * 

 u = ocV- ?/"* , 



si può porre 



l_ Xh+h 



u = x ''■ y v , 



l m 



con X intero: nel caso B = A m , preso X = 0, si ba u = xPxP, v = y, 

 come avevamo già trovato; invece nel caso in cui A e B riescano indipen- 



i. 1 



denti (h = 1 , a = v., m = n) posto X = — 1, si ha u = x"- , v = 



Possiamo ora togliere l'ipotesi restrittiva che i rami a e b sieno gli 

 assi x = e y = ; se tali rami sono dati rispettivamente da 



y = 2 di x l 

 y = 2 In y i , 



ci si riduce al caso precedente mediante la trasformazione 



x' — y — 2 ai x l 

 y' =y — 2b { y i , 



regolare nell'intorno del punto x — , y = 0. 



NOTA. — Conviene osservare l'analogia fra lo sviluppo di z, dato sopra 

 nel caso B = A m , coti lo sviluppo di Halphen di una falda d'ordine /n di una 

 superficie nell'intorno di un punto generico di una curva cuspidale : se l'asse 

 i = è una curva cuspidale d'ordine r = fi, e il punto x — y = z ~ 

 è un punto generico di questa, lo sviluppo di Halphen dà 



i 



z = 22 dix xV- y H . 



La ragione di tale analogia sta in ciò: che, se si eseguisce una trasfor- 

 mazione birazionale dello spazio (per e3. una trasformazione monoidale) la 

 cui curva fondamentale abbia un contatto m -punto con una curva cuspi- 

 dale d'ordine r in un punto generico, P, di questa, si viene a creare un 

 incrocio di due curve cuspidali (la vecchia curva cuspidale e una nuova sor- 

 gente dal punto P) cui corrisponde un incrocio di due curve di diramazione, 

 che dà precisamente il caso in questione. 



i_ i 



Lo sviluppo, invece, che si ottiene nel caso generale per scj* , y * , rientra 

 nel tipo degli sviluppi che Hensel credeva potersi dare per una falda qua- 

 lunque di una superficie (al quale proposito cfr. Enriques-Chisini, Teoria 

 geometrica delle equazioni, voi. Il, pag. 562; e più particolarmente B. Levi, 

 Comptes Rendus, 17 marzo 1902). 



