per cui la (12) può venire sostituita dalla seguente: 



oo fin ^Sn ] oo t %n ~*" 1 d Zn+i 



(13) v = ?» (2nfl dx^ l " M ~~ ~gir n (2» + l)! ^ " 



Rimane ora da discutersi l'equiconvergenza delle due serie. Ci occupe- 

 remo della prima soltanto, dato il particolare interesse del problema ondoso 

 che ad essa si riferisce. Le considerazioni ad essa relative sono però senz'altro 

 applicabili anche all'altra serie. 



7. Il problema di particolare interesse che ho accennato è quello delle 

 onde di emersione. Essendo nulli gli impulsi iniziali, notoriamente deve es- 

 sere <p — 0; la (13) si riduce allora alla prima serie, cioè 



oo fin d in 



Mediante questa relazione, risulta defluito il profilo dell'onda in qualunque 

 istante (finito), quando sia noto il profilo iniziale (per t = 0). 



8. Occupiamoci ora della convergenza della serie (14). Converrà a tal 

 uopo seguire, fino ad un certo punto, il metodo della media aritmetica esco- 

 gitato da Neumann per la risoluzione del problema di Dìrichlet 



Si consideri l'integrale 



o C +ca 71 

 IW = t~ V»( x i) Ì0 S ^th* — Oi — a) dxi , 



e si noti che, se r; designa una qualsiasi funzione di x x finita e continua 



al finito e finita (o anche dotata di singolarità polare, comunque elevata) 



per Xy = rt oo , I [ry ] è una funzione di x, finita e continua anche all' » ( 2 ). 



Sieno M e m rispettivamente il massimo e il minimo di ry , e si divida 



l'intervallo ( — oo , -f- oo ) in due parti « e /? tali che: nella prima il va- 



. . M -f- m ... M + m . . 



lore di sia superiore a — - — , nell altra sia r l0 < — - — ; si ha 



— I U>] <M f log Cth 2 4- (», — x) dx x + 

 g Ja 4 



— I M > f log Cth 2 ^ (*, - x) dx x + 



y 6 Ja 4 



-j- m J~ log Cth* -j- (ce, — x) dx x , 



(') Cfr. ad es. Picard, Traìté (Panalyse, tome I. 



(*) Cfr. Levi-Civita, loc. cit. Trasformazione di una relazione ecc., n. 5. 



