Dato il carattere quadratico di I (cfr. in particolare il n. 3 della Nota 

 precedente), la condizione necessaria e sufficiente pel minimo è semplice- 

 mente <?I = 0, dove la variazione à si riporta alla variazione di u nel 

 campo armonico. Con questa intesa, si ha 



<) Su, 



In base a (1), la variazione armonica Su si può esprimere per la va- 

 riazione arbitraria (a parte la condizione di continuità) fi , sotto la forma 



óu = \ — 77™- da . 

 Ja r(P,Q) 



Introduciamo questa espressione di du, e invertiamo gli integrali, ope- 

 razione evidentemente legittima: si ha 



JI=2 [ i^d* f Y(*-xY^£Md&. 

 Per l'arbitrarietà di /i , la condizione «J 1 1 = dà 



V ' JS — \ ÌX ! ÌX 



Ponendo 



funzione conosciuta, tale essendo per ipotesi il campo (V), u sarà determi- 

 nata dalla seguente equazione integro-differenziale : 



1)X ~òx 



dS 



Integrando per parti il secondo membro, e osservando che A 2 u=0 in 

 tutto il campo S di integrazione, ove si indichi con Q' un punto generico 

 di <r, e con m la normale a e in Q' (volta verso l'interno del campo), 

 risulta 



(iS) * (Q> = ~S. ^W7¥> % ia : 



che è una equazione integrale di prima specie rispetto ai valori limiti (dal- 

 l'interno del campo) della derivata normale di u, al contorno. La determi- 



