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Matematica. — ■ Sulla ricerca delle funzioni 'primitive. Nota 

 III (') di Leonida Tonelli, presentata dai Socio S. Pincherle. 



5. Vogliamo escludere in (8) il segno di maggiore. Indichiamo con *&{x) 

 il primo membro della disuguaglianza detta e con A*(x) il suo numero de- 

 rivato superiore destro. Se x appartiene ad un intervallo (a m , b m ) contiguo 

 a Pj , ed è distinto da b m , in x esiste ed è nulla la derivata destra dell'in- 

 tegrale di </>, mentre la sommatoria 2^ ha lo stesso numero derivato supe- 

 riore destro di F(x). È dunque, per gli x detti, A* ~ A. Se poi a; è un 

 punto di P, , non primo estremo di un intervallo contiguo all' insieme, il nu- 

 mero derivato superiore destro di I' x è < 0, perchè i termini di questa serie 

 sono tutti negativi, per la (2) del n. 3. Ma. quasi dappertutto su Pi , la 



derivata dell'integrale della (p esiste ed è = <p = A ; duuque, quasi dapper- 

 tutto su Pj , è A* < A . Se ora osserviamo che la (8) del n. 4 vale anche 

 su ogni porzione di P, , abbiamo, per tutti gli x ora considerati, A* >_A 

 e perciò, quasi dappertutto su P] , A* = A . Questa uguaglianza vale così 

 quasi dappertutto su (p (0) , p U) ) ; e in tutto questo intervallo è poi sempre 

 > A* > A. Se ne conclude che A* non può essere infinito (e — — oo) 

 che nei punti in cui è A = — co , cioè in un insieme di punti che non 

 contiene nessun insieme perfetto, e che le funzioni F(x) e *P(cc) non pos- 

 sono differire che per una costante (*). Essendo poi <P(/> (0) ) = 0, risulta di- 

 mostrata la (3) del n. 4 per la F(x) e quindi anche per la f(x). 



Osservazione. — La formula (3) del n. 4 vale evidentemente anche 

 per ogni porzione di P l . Inoltre, se x x e x 2 sono due punti qualsiasi di 

 (p t9ì ,p lv ), si ha 



(1) f( X9 ) — f( Xl )= \A{x)dx+ 1 \f{K)-f(a n )\, 



dove F l [x i ,x 2 ] indica l'insieme dei punti di P, contenuti in (x 1 ,x 2 ) e 

 la 7 è estesa agli intervalli contigui a Pj contenuti in (x : , x%) ed anche 



a quelle parti (due al più) di tali intervalli eventualmente contenute nel 

 segmento indicato. 



6. Dato un insieme perfetto P di (a , b), diremo che un suo punto p 

 è singolare se non appartiene come punto interno (cioè distinto dagli estremi) 



(') Continuazione della Nota II (questi Rendiconti, voi. XXIX, 1° seni., pp. 106-110). 

 ( 9 ) Ciò per un noto teorema di Scheeffer generalizzato da Ch. J. de la Vallèe Poussin 

 (Cours d'analyse infinitésimale, tom. I, 3 me édit. , pag. 101). 



