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a nessuna porzione di P sulla quale valgano le proprietà dei nn. 1-4. L'in- 

 sieme C dei punti singolari di P è necessariamente chiuso. Se (a , /?) è un 

 intervallo contiguo a C, posto a < a' < /S' < /?, si ha 



Ed infatti, detta P, la porzione di P di massima lunghezza contenuta in 

 (a ,§'), ogni punto di P, è interno ad una porzione di P su cui valgono 

 tutte le proprietà dei nn. 1-4. Per un noto teorema di Borei, si può allora 

 ricoprire tutto P, con un numero finito di porzioni di P su ciascuna delle 

 quali valgano le stesse proprietà; e queste varranno perciò su l'intero in- 

 sieme P, ed anche su una porzione Pi di P contenente come punti interni 

 tutti quelli di P t . L'uguaglianza sopra scritta non è dunque che la (1) del 

 n. 5 applicata all'intervallo (a , ($') e all'insieme PJ. 



Data la continuità della f{x), con un passaggio al limite, si ottiene 

 il valore della differenza f(fì) — f{a), per qualsiasi intervallo («,/?) ap- 

 partenente ad ( a , §). 



Se il primo estremo c { di C non coincide con a , quanto si è detto 

 per (a,/S) vale anche per (a,Ci). Altrettanto dicasi per (c z ,b), dove c t è 

 il secondo estremo di C. Se e è un punto isolato di C, ed a e @ sono i 

 punti di C più prossimi ad esso, a sinistra e a destra, applicando quanto 

 si è ora detto agli intervalli (a , c) , (<?,/?), si ottengono le differenze 

 /(<?) — /(a). f(fi) — f(c) e quindi, sommando, anche /(/?) — /'(«); e si ot- 

 tiene pure — /"(«), dove (a,/S) è un qualsiasi intervallo di (a,/?). 

 Così proseguendo, si ottiene la differenza /(/"?) — f{a) relativa ad un qual- 

 sivoglia intervallo (a , /?) appartenente ad un intervallo contiguo al primo 

 derivato C di C. Ripetendo queste operazioni un'infinità numerabile di volte, 

 si ottiene il valore di f(jff) — f{u) per un qualsiasi (a,/?) appartenente ad 

 un intervallo contiguo al massimo insieme perfetto P (1) contenuto in C. 



Osserviamo qui che, per le proposizioni dei nn. 1-4, P u) è ovunque 

 non denso su P. 



7. Prendiamo come insieme perfetto P l'insieme di tutti i punti di 

 (a , b) e indichiamo con C (1) l'insieme dei suoi punti singolari, i quali at- 

 tualmente sono quelli che non appartengono come punti interni a nessun in- 

 tervallo parziale di (a . b) su cui A sia limitato superiormente, integrabile 

 e soddisfacente alla 



f{p')-f{«')= \A{x)dx+ y \f(b n )—f(a n )\. 

 JPO'./s'] 



A dx . 



Detto P ( ° il massimo insieme perfetto contenuto in C (1) , col procedi- 

 mento del numero precedente otteniamo il valore della differenza /"(/?) — f(a) 

 Rendiconti. 1920. Voi. XXIX. 1° Sem. 25 



