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relativo ad un qualsivoglia intervallo contenuto in un intervallo contiguo 

 a P (1) . Partendo da P (1) e detto P <2) il massimo insieme perfetto contenuto 

 nell'insieme dei punti singolari di P (1) , otteniamo, col procedimento del 

 numero precedente, il valore della differenza /(/?) — f(a) per qualsiasi (a, fi) 

 contenuto in un intervallo contiguo a P (2> . E così proseguiamo transfini- 

 tamente. 



Ciascuno degli insiemi perfetti che così veniamo a costruire, 

 pa> ^ p(2> ^ ^ p(u) p(o)-n) ( _ p(2w) p(«h>+i) 



è contenuto in tutti i precedenti. Se dunque non esistesse, fra questi un ul 

 timo insieme, esisterebbe un certo numero transfinito m per il quale P (t0) 

 risulterebbe identico a tutti gli insiemi P che lo seguono Ma P ((0+l ), 

 dovendo essere ovunque non denso su P (ù>> , non può coincidere con P (w ', e 

 resta così dimostrata l'esistenza di un ultimo insieme F Uù \ Applicato allora 

 a questo P (lù) il procedimento del numero precedente, si ottiene f(fi) — f(a) 

 per un qualsiasi (« , fi) di (a , b). Il procedimento, indicato in questo e nel 

 numero precedente, permette quindi di risalire dalla conoscenza del nu- 

 mero derivato superiore destro A{x) alla funzione continua f(x) {a meno 

 di una costante arbitraria), nell' ipotesi, fino ad ora ammessa, che A sia 

 sempre finito o, lui t" al più, uguale a — oo in un insieme che non contenga 

 alcun insieme perfetto. 



8. Supponiamo ora che, ferma restando l'ipotesi fatta sull'insieme E.^ 

 dei punti in cui è A = — oo , il numero derivato A possa diventare anche 

 uguale a -fa, purché l'insieme E+x, dei punti in cui è A = -f- oo non 

 contenga neppur esso alcun insieme perfetto. Dimostriamo subito che anche 

 in questo caso vale la proposizione: in ogni insieme perfetto P di (a , b) 

 esiste sempre almeno una porzione sulla quale A ammette un limite su- 

 periore finito. 



Supponiamo, infatti, la proposizione non vera e cioè che, preso comunque 

 un numero N , su ogni porzione di P esista sempre almeno un punto in cui 

 è A~^>N. Si divida in due parti uguali il minimo segmento che contiene 

 l'insieme P e, detto c il punto di divisione, si indichino con P! e P z le due 

 massime porzioni di P, alla sinistra e alla destra di c. Detto n un intero 

 positivo qualunque, esiste in P, almeno un punto q a cui corrisponde un q 

 (non necessariamente appartenente a P,) di (a , b) in modo che sia 



0<q' — q^l , f(q') — f{q)>2n(q' — q). 

 Sia 2,1 il limite superiore delle differenze q' — q relative a tali coppie ; sia 



(*) Cfr. R. Baire, Legon* [tur Ut fonctions discontinuet (Paris, Gauthier-Villars, 

 1905, i>. 92). 



