poi q„ tì il limite inferiore dei q a cui corrispondono differenze q' q^-l. 

 Questo q„,i appartiene necessariamente a Px e, per la continuità della fun- 

 zione tisi ^ quando q' — tf->/>0, possiamo affermare l'esistenza 



q —q 



in (a , e) di almeno un punto q' tale che sia 



1 



— , f(q') — f(q tltl )>2n(q' — q nA ). 



Fra questi q' sia q' n>ì il minore, e indichiamo con d nA il massimo intervallo 

 della retta su cui giace (a, b), che ha per centro il punto q„, t , ampiezza 



— — Qn,ì ^e quindi — e ^ a ^ e c ^ e ' P er °g m suo punto q, valgala 



disuguaglianza f(q' n ,i) — f(q) > n(q' n ,i — q) • 



Operando in modo analogo su P 2 , troveremo uu intervallo (4,2, di lun- 

 ghezza < - e avente il centro q„ t2 in un punto di P 2 , ed un punto q'„ i2 , 



ad esso esterno, e tale che sia 0<Cq~n,t — ?»«,2— ~ ed anche f(q' n #) — f{q) 



Tè 



~ ft(q'n,2 — q)ì per ogni punto q di d„,%. Indichiamo poi con P 3 , P 4 , P 5 

 le massime porzioni di P eventualmente rimanenti alla sinistra di d„,i , 

 fra d„,i e d n , % , e alla destra di d„ ì2 - Su ciascuna di queste porzioni si operi 

 come già si è fatto su P, dividendo però i minimi segmenti che le conten- 

 gono, non in due, ma in quattro parti. E così si prosegua indefinitamente, 

 raddoppiando sempre il numero delle parti in cui si dividono i minimi 

 segmenti che contengono le porzioni di P che si considerano. Si otterrà in 

 tal maniera una successione (eventualmente ridotta ad un numero finito) di 

 intervalli 



(ce) d n ,i , d„ t 2 , fl?«,3 , ... , d n ,r i •■• i 



aventi tutti il centro su P e lunghezza sempre ovunque densi su P ( 1 ) 



e tali che esista, per ognuno di essi, un punto q' n<r , esterno e alla destra di 



d„, r ; e soddisfacente alle disuguaglianze < q n>T — q„ >r < ^ , f{q' n<r ) — f(q) 



-— n (q'n,r — q), dove q nìr è il centro di d n>r e q è un punto qualsiasi di 

 quest'intervallo. Dando ad n tutti i valori interi positivi, si ottengono infi- 

 nite successioni (a), e, détto E„ l'insieme dei punti appartenenti ad almeno 

 un d n<r (r= \ ,2,...), l'insieme E dei punti che appartengono a tutti gli 

 E„ (n — 1 , 2 , ...) ha la potenza del continuo e contiene un insieme perfetto 



( x ) Vale a dire, in ogni porzione di P vi è almeno un punto appartenente ad uno 

 degli intervalli detti. 



