[perchè gli elementi di (a) sono ovunque densi sull'insieme perfetto P (')]. 

 Sia P' tale insieme perfetto e p un suo punto. Detto d„ jr un intervallo di (a) 

 che contiene p, è f{q' nJf ) — f(p) > n(q' ntr — p); e poiché q' ntr , essendo 

 esterno e alla destra di d n<r , è pure alla destra di p, ed è 



^ . \q n ,r-p\^~. 



è necessariamente A{p) = -\- oo . Da ciò segue che E +C c contiene un insieme 

 perfetto, contro l'ipotesi fatta. La proposizione enunciata è dunque provata. 

 E poiché tale proposizione non è che quella del n. 1 per il caso attuale, si 

 conclude che il procedimento indicato ai nn. e 7 permette di calcolare 

 la differenza f{§) — f(a) per qualsiasi intervallo («,/?) di (a , b). Il proce- 

 dimento ricordato non è clic quello di integrazione alla Denjoy, e possiamo 

 così affermare che 



il procedimento di integrazione alla Denjoy permette di risalire, 

 dalla conoscenza di un numero derivalo, alla funzione primitiva, continua 

 {che viene determinata a meno di una costante), nell'ipotesi che nessuno 

 dei due insiemi E_» , E+*> dei punti in cui il numero derivato è uguale 

 a — 00 , -j- 00 , contenga un insieme perfetto. 



Di qui segue anche che non possono esistere due funzioni continue, 

 differenti fra loro non per una sola costante, e aventi uno stesso numero 

 derivato soddisfacente alla condizione sopra indicata. Il problema posto nel- 

 l'introduzione è dunque risoluto, ed ammette una soluzione unica. 



Possiamo aggiungere la seguente osservazione. Come è noto, il valore 

 dell'integrale del Lebesgue di una funzione, data su un intervallo sempli- 

 cemente su un insieme misurabile, è indipendente dai valori che essa fun- 

 zione assume su un insieme di misura nulla; altrettanto quindi potrà dirsi 

 dell'integrale alla Denjoy, nel quale i valori della funzione da integrare in- 

 tervengono solo a traverso l'integrale del Lebesgue. Ne viene che il calcolo 

 della funzione primitiva, quando sia soddisfatta la condizione relativa agli 

 insiemi E_» , E+ M , può eseguirsi anche se il valore del numero derivato 

 che si considera non è conosciuto in un insieme di punti di misura nulla. 



9. Abbiamo già osservato nell'introduzione che una funzione continua 

 non è determinata, a meno di una costante, da un suo numero derivato, 

 quando almeno uno degli insiemi E_« , E+» contiene un insieme perfetto. 

 Possiamo aggiungere che, pur essendo soddisfatta la condizione per E_oo 

 e E+» di non contenere alcun insieme perfetto, l'indeterminazione della pri- 

 mitiva sussiste se il numero derivato non è conosciuto in un insieme I di 

 misura non nulla. Ed infatti, detto P un insieme perfetto contenuto in I e 



(*) Cfr. la mia Nota Sulla potenza di alcuni insiemi, che apparirà fra breve nel 

 « Giornale di matematiche del Battaglini ». 



