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Non è più così, almeno in generale, quando le u dell'insieme dipen- 

 dono in modo noto ma funzionale da altre funzioni arbitrarie. I principi del 

 calcolo delle variazioni sono ancora applicabili; ma la condizione che si 

 annulli la variazione prima porta ad equazioni di natura più complessa, per 

 es. integrali od integro-differenziali, di cui la teoria, in relazione al pro- 

 blema variazionale, è ben lungi dall'essere così progredita come lo è per 

 i sistemi puramente differenziali. Ciò ebbe a rilevare in linea generale il 

 prof. Fubini, indicando vari tipi di problemi di calcolo delle variazioni, 

 che dànuo luogo a equazioni funzionali ( 1 ). 



Qui intendo unicamente occuparmi del minimo di 1 nella ipotesi che 

 S sia una porzione {finita) dell'ordinario spazio a tre dimensioni, limi- 

 tata da un contorno o", e che u debba essere armonica e continua anche 

 al contorno, assieme con la sua derivata normale. La discussione riesce in tal 

 caso esauriente, invocando noti teoremi esistenziali concernenti le funzioni 

 biarmoniche: ne rimangono rigorosamente stabilite l'univoca esistenza del- 

 l'armonica viciniore u e le sue relazioni colla funzione assegnata U. Quando 

 si tratta in particolare di un campo sferico, si può ulteriormente ricondurre 

 la determinazione della u all'ordinario problema di Dirichlet, e quindi al 

 calcolo dell'integrale di Poisson : vi si perviene profittando di eleganti e 

 ormai ben noti accorgimenti che già furono introdotti dall' Almansi e dal 

 Boggio. 



2. — Specificazioni qualitative. 



Supporremo che la superficie (o il complesso di superficie) er, che costi- 

 tuisce il contorno di S, sia regolare o almeno costituito da un numero finito 

 di porzioni regolari (ciascuna dotata di piano tangente e di curvature va- 

 riabili con continuità). 



Detto Q un punto generico di <r, da un elemento circostante a Q, 

 rappresenteremo con r(P,Q) la distanza da Q a un punto generico P di S, 

 e con ^(Q) una funzione dei punti di Q, ovunque finita, e, in ogni porzione 

 regolare di <f , anche continua. 



Ciò premesso, precisiamo la varietà W di funzioni u, armoniche entro S, 

 da prendere in considerazione. Nella natura delle cose è di richiedere che ?J 

 comprenda tutte le funzioni armoniche, regolari nel campo, le quali riman- 

 gono finite anche al contorno, con che ha certo un senso l'integrale I. Noi 

 limiteremo la nostra indagine imponendo ancora alle u una limitazione qua- 



(') Alcuni nuovi problemi di calcolo delle variazioni con applicazioni alla teoria 

 delle equazioni integro-differenziali (Annali di matematica, serie III, tomo XX, 1913, 

 pp. 217-245). Per l'equazione di Fredholm di seconda specie, già Hilbert aveva rilevato 

 [cix. Grundzùge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleickungen, Leipzig, 

 Teubner, 1912, pp. xi e 28J che essa proviene da un problema di minimo risalente a 

 Gauss. 



