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che è evidentemente una condizione integrale per l'armonica viciniore u, 

 equivalente a J1 = 0. Rileviamo subito che la univoca determinazione 

 di u in base a questa equazione rientra in un problema generale già ri- 

 soluto dal Lauricella Pei 1 essere completo, riprenderò brevemente al § 5 

 le considerazioni del Lauricella con referenza al caso particolare die ci in- 

 teressa. Intanto ritengo acquisita la proposizione esistenziale e passo a ri- 

 levare alcune proprietà generali delle armoniche viciniori. 

 Formiamo in principio il residuo 



risguardandolo come densità di ima ipotetica distribuzione newtoniana entro S. 



Il primo membro della (5) si presenta allora come il corrispondente 

 potenziale in Q; e il fatto che esso si annulla in ogni punto del contorno e 

 di S porta come necessaria conseguenza che esso sia ovunque nullo all'esterno. 

 Di qua l'espressiva interpretazione meccanica: Il residuo spettante all'armo- 

 nica viciniore dà luogo ad attrazione esterna nulla ; in particolare, condi- 

 zione necessaria e sufficiente perchè la viciniore sia zero è che la funzione 

 data U, attribuita quale densità ad S, lo renda corpo di attrazione 

 esterna nulla. 



Osserviamo ora che, nella (4), du(P) designa un qualsiasi incremento 

 (infinitesimo) di u, entro l'insieme TI; attesa la linearità della (4) stessa, 

 si può in sostanza risguardare Su come una funzione armonica arbitraria. 

 Così la SI — , Ossia 



si presenta come una proprietà integrale dell'armonica viciniore u, dotata 

 di ragguardevole generalità. 



Una prima conseguenza interessante si ha ponendovi Su = 1 ; se ne 

 desume allora che il valore medio della funzione assegnata U coincide 

 necessariamente con quello dell' armonica viciniore. 



Il carattere quadratico della espressione di I assicura, come è ben noto, 

 che, per <JI = 0, si ha un minimo assoluto. Possiamo constatarlo formando 

 materialmente la differenza fra l'integrale I*, corrispondente ad una gene- 

 rica funzione armonica u*, e l'integrale I formato colla viciniore. Dacché 



(6) 



U(P)- M (P) = r(P), 



(U — u*f = j (U — u) + (u — u*) j 2 , 



ove si moltiplichi per dS e si integri, si ha identicamente 



I* = I + f (u — u*f dS -1- 2 j (U — u) (u — u*)dS. 



(') Sulla funzione potenziale di spazio corrispondente ad una assegnata azione 

 esterna, in questi Bendiconti, serie 5», voi. XX, 1° sem. 1911, pp. 99-107. 



