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Il suo annullarsi richiede % = in tutto il campo S e in particolare 

 su ff, il che basta ad assicurare, per ben note proprietà dei potenziali di 

 superfìcie, che anche 0(Q) ~ 0, c. d. d. 



5. — Riduzione ad un problema biarmonico. - 

 Verificazione della soluzione. 



La determinazione della u , e, per essa, della densità fi , si è fatta di- 

 pendere dalla equazione integrale (10). Ma il problema non si può con ciò 

 ri sguardare risoluto, poiché, allo stato attuale della teoria, bisognerebbe far 

 capo alla condizione necessaria e sufficiente di Picard-Lauricella, la quale 

 presuppone la conoscenza delle autofunzioni e degli autovalori del nucleo: 

 circostanza questa che, almeno in generale, non si può certo ritenere acqui- 

 sita per il nostro N(Q , Q'). 



Giova pertanto riprendere la equazione caratteristica (5), completando 

 la discussione per altra via. Cominciamo col generalizzare la posizione (9), 

 riferendola ad un punto qualunque' P' dello spazio (sia interno che esterno 

 ad S, od anche sopra a). Accanto a questo potenziale di volume 



(10) V(F>=j>P)^, 



che si può risguardare assegnato assieme con U, introduciamo l'analogo, 

 avente per densità l'incognita viciniore u, 



dS 



(11) y(P') = j\(P) 



r(P,P') 



La (5) può così essere scritta 

 (5") y(Q),= V(Q) (sopra a). 



Si tratta di due potenziali di masse distribuite entro o", i quali coin- 

 cidono in superficie. Ciò implica coincidenza in tutto il campo esterno. Ne 

 discende in particolare che coincideranno le derivate secondo una direzione 



generica n, 3^, ^j- , purché prese dall'esterno, anche nei punti di a. Sic- 



dn dn 



come tali derivate non subiscono discontinuità attraverso a, è indifferente di 

 considerare i valori limiti dall'esterno dall' interno, e si può quindi, pen- 

 sando per es. a questi ultimi, e attribuendo a n il significato di direzione 

 normale vòlta all'interno, associare a (5'') la sua necessaria conseguenza 



<*'"> (*),=(£)« <■** •>■ 



Limitiamo oramai la considerazione dell'ausiliario potenziale v al campo 

 interno S. Esso verifica in tale campo l'equazione di Poisson 



(12) 



