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ed è quindi una funzione biarmonica {&aV=Q), essendo armonica u. Al 

 contorno pi conoscono, in base alle (5") e (5'")) i valori della funzione e 

 quelli della sua derivata normale. La v ne rimane univocamente determi- 

 nata. Ciò risulta con tutto rigore dalle ricerche di Fredholra e di Lauri- 

 cella. Quest'ultimo ha infatti ricondotto la effettiva determinazione di v ( l ) 

 ad un sistema di equazioni integrali di seconda specie, per cui si trovano 

 soddisfatte le condizioni di univoca risolubilità del Fredholm. 

 Trovata v, si ha u dalla (12). 



Verificazione. — È facile riconoscere a posteriori che la u così 

 definita è effettivamente l'armonica viciniore. Partiamo all'uopo dalla nota 

 formula che esprime una generica funzione v dei punti di S (finita e con- 

 tinua assieme alle sue derivate prime e seconde) mediante il A 2 v dei punti 



do 



di S e i valori superficiali di v e di — . Applicandola alla nostra v, in 



an 



base alle (12), (5") e (5"'), potremo scrivere 

 avendo posto per brevità 



Ora notiamo che (intendendo P' entro S) V(Q) e J~ p , considerate 



^(y ? J- ) 



come funzioni dei punti Q esterni o appartenenti a <r, sono entrambe armo- 

 niche e regolari, e si annullano debitamente all' oo . Perciò il teorema di 

 Green, applicato a queste due funzioni nella regione esterna a e, ci assi- 

 cura che W(P') — 0. Rimane pertanto 



e così, in primo luogo, si ritrova la (11). Dopo ciò, riflettendo che la v ve- 

 rifica per costruzione la (5"), si è condotti alla voluta conclusione che l'ar- 

 monica u fornita dalla (12) soddisfa alla originaria (5), equivalente a sua 

 volta a ól — 0, c. d. d. 



6. — Campo sferico. 



Sia R il raggio, e q rappresenti la distanza di un generico punto P 

 dal centro 0. Per la costruzione della biarmonica v , giova servirsi anzitutto 



(') Sull'integrazione dell'equazione A 4 V=0, in questi Rendic, serie 5", voi. XVI, 

 2° sem. 1907, pp. 373-383. 



Rendiconti, 1920. Voi. XXIX, 1° Sem. 27 



