del lemma di Almansi (*), secondo cui ogni funzione biarmonica v, regolare 

 entro la sfera S, si può mettere sotto la forma 



(13) ^(K ! -e ! )rl-f 



essendo y> e ip due funzioni armoniche (pure regolari entro la sfera). 



In ogni punto Q del contorno ff, v si riduce all'addendo ip, talché 

 la (5") fa conoscere direttamente i valori superficiali V(Q) di \p , e la sua 

 completa determinazione dipenderebbe dall'ordinario problema di Dirichlet. 

 Ma il seguito della discussione mostrerà che non è necessaria per il nostro 

 scopo l'esplicita valutazione di tp . Deriviamo intanto la (13) rispetto a q 

 in un punto interno, e poniamo, a derivazione eseguita, (> = R, riferendoci 



d d 



in conformità a un generico punto Q di e. Notando che, in Q, — = — — , 



uq an 



e badando alla (5"'), risulta 



(14) S=- 2B »(« + ?' 



che somministra i valori al contorno della seconda funzione armonica g>, però 



con intervento della — . Ma è possibile di liberarsene. Ed ecco come. 



Ricordiamo che V(P') è funzione armonica del campo esterno a e, 

 mentre la xp è stata or ora caratterizzata come l'armonica del campo interno 

 che prende i medesimi valori superficiali. Ciò non implica naturalmente che 

 si raccordino anche i valori delle rispettive derivate normali; ma, per la 

 speciale forma sferica del campo, esiste fra questi valori una relazione locale 

 assai semplice, rilevata dal Boggio ( 2 ). Questa relazione, per le nostre tp 

 e V, può essere scritta 



2l + 2f = - 1 V(Q). 

 La (14) assume così l'aspetto 



(14') ' = +ìv) q , 



col secondo membro dipendente soltanto da V e sua derivata normale. 



Nota (f entro il campo S, il che implicherebbe ancora una volta riso- 

 luzione dell'ordinario problema di Dirichlet, dalle (12) e (13) si ha u sotto 



( 1 ) Sulla deformazione della sfera elastica, Memorie della R. Accademia delle 

 scienze di Torino, tomo XLVII, 1897, pag. 111. 



( 2 ) Cfr. Induzione prodotta da un campo magnetico qualunque sopra una sfera isotropa, 

 Rend. del R. Istituto lombardo, voi. XXXVII, 1914, pag. 125. 



