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Ora osserviamo che A! è la trasformata di A mediante il prodotto BA : 

 infatti 



(BA) A (BA)" 1 = B A A A~ l B~ l = B A B _1 , 

 e così pure è B! la trasformata di B mediante il prodotto BA: infatti 

 B, = A, BAr 1 = (B A B- 1 ) B(BA -1 B _1 ) = (BA) B(A _1 B" 1 ) == (BA) B(BA) -1 . 

 Vediamo ora che è in generale: 



A, - = (BA)* A(BA) - * 



B, = (BA)*B(BA)-*. 



Per dimostrare ciò, seguiremo il solito metodo dell'induzione completa, 

 ammettendo vero l'enunciato per % e dimostrandolo per i -j- 1. 

 Avremo dunque, per la prima delle (6), 



A i+1 = (BA)*B(BA)-> (BA)* A(BA)~* (BA)* B- 1 (BA)-* = (BA)* BAB" 1 (BA)-*, 



e, poiché A = A A A -1 , 



A i+1 = (BA)* (BA) A(A _1 B* 1 ) (BA)-* = (BA)*- 1 A(BA)" i " 1 . 



Passando alla Bj +1 , per la seconda delle (6), avremo 



B i+1 = (BA)* +1 A(BA)-*" 1 (BA)* B(BA) _< (BA)*- 1 A -1 (BA) - * -1 = 

 = (BA)* +1 A(BA)- 1 B(BA) A- 1 (BA)-'- 1 

 = (BA)* +1 A A" 1 B" 1 BBAA-' (BA)-*" 1 

 = (BA)* +1 B(BA)-*- 1 . 



Ora, intine, essendo 



l r = A , B r = B , 



possiamo concludere 



A = (BA) 1 " A(BA) _r 

 B = (BA)"- B(BA)" r : 



cioè A e B sono permutabili con la (BA/ ; che è quanto avevamo enunciato. 



4. Esempi. — Si consideri, nell'intorno del punto P = (a; = ,y = Q), 

 la funzione s definita prima dall'equazione 



e poi dalla 



f=y(x + y + z)+i* = Q. 



