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per primo — il significato delle condizioni di Legendre e di Weierstrass, 

 mostrando come esse non facciano che tradurre in disuguaglianze il fatto 

 che, su ogni curva minimante, l'integrale \ e deve essere una funzione se- 

 micontinua inferiormente della linea d'integrazione. 



Ammesso per semplicità — cosa che faremo in tutta la presente Nota — 

 che la frontiera del campo considerato sia costituita di un numero finito di 

 curve continue, prive di punti multipli e senza punti comuni, ciascuna delle 

 quali risulti di un numero finito di archi a tangente variabile in modo con- 

 tinuo, dai risultati della Memoria indicata segue pertanto: 



a) Le condizioni di Legendre e di Weierstrass devono essere veri- 

 ficate su ogni arco di curva minimante l c che abbia ovunque tangente 

 che varia in modo continuo (siano i suoi punti interni o no al campo 

 considerato). 



b) Le stesse condizioni devono essere quasi dappertutto soddisfatte 

 su ogni curva minimante I c , supposto semplicemente che questa curva sia 

 rettificabile. 



2. È noto come, in ogni punto angoloso P di una curva minimante I c , 

 debba, se il punto è interno al campo, esser verificata la condizione, detta 

 di Weierstrass-Erdmann, espressa dalle due uguaglianze 



(1) EV = F*' , I>=Ey, 



dove Y x r , F y f rappresentano i valori delle derivate parziali F^ , F y r calco- 

 lati in P sull'arco «, della curva minimante, che termina nel punto an- 

 goloso, e ¥ x r , f y f quelli calcolati sull'arco à , della stessa curva, che co- 

 mincia in P ('). Se il punto angoloso, anziché essere interno al campo, è 

 sulla sua frontiera, e ove questa ha tangente che varia con continuità, sup- 

 posto uno degli archi « , a (a, ad esempio) tutto composto di punti interni 

 al campo, ad eccezione di P , deve essere verificata in P la condizione, 

 determinata da Weierstrass, 



(2) cos O ( IV — EV) + sen o (BV — È>) = , 



dove 6 indica l'angolo di direzione della tangente in P alla frontiera del 

 campo. Come è evidente, la (2) è soddisfatta se lo sono le (1), ma non vi- 

 ceversa. Ci proponiamo di mostrare che le (1) valgono anche nel caso 

 attuale. 



Scegliamo due punti Q e Pi , rispettivamente su a e « , e, considerato 

 un punto qualunque dell'arco P Pi di à, «(P,,^), indichiamo con t la 

 lunghezza dell'arco «(P ,P) e con t x quella di à(P ,Pi). Possiamo, in in- 

 finiti modi, costruire una famiglia di curve a t , congiungenti Q con tutti i 



(') Ammettiamo che gli archi a e « abbiano ovunque tangente variabile in modo 

 continuo. 



