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punti P di «(Po,?!), appartenenti al campo considerato, e in guisa cbe r 

 detta s la lunghezza generica dell'arco su 5, a partire da Q, e indicate 

 con x = x(s) , y = y(s) , (0 < s < s ) le equazioni parametriche di «(Q, P ) 

 e con x = x(s) + g>(s , t) , y == y(s) -\-tp(s,t), (0 <. s < s ) quelle di «, , 

 le funzioni g> e ip , per tutti i valori di s dell'intervallo (0 , s ) e tutti 

 quelli di £ dell'intervallo (0,^), siano finite e continue insieme con le loro 

 derivate parziali prime e quelle seconde miste, e che, per £=0, le <p,tp r 

 g> s , xp s siano tutte eguali allo zero Dovendo aversi, per ogni t di (0 , t l ) , 



ed essendo i due membri di questa disuguaglianza uguali per t = , la 

 stessa disuguaglianza dovrà essere verificata fra le corrispondenti derivate 

 rispetto a t , per t = 0. Dovrà essere perciò (poiché a è necessariamente 

 un arco di estremale) 



cos O F x , -f- sen O F y r >. E , 



dove O indica l'angolo di direzione della tangente in P a S. Indicando 

 con O il corrispondente angolo per a , e con x , «/ le coordinate di P , e 

 introducendo la funzione E di Weierstrass, si avrà dunque E (x Q y ; cos O , 

 sen O ; cos 6» , sen O ) <. . Ma, per la condizione di Weierstrass (n. 1), 

 è E(ir y ; cos O , sen O ; cos , sen 0) >. , per ogni , onde 



E(x , z/o 5 cos > sen ; cos O , sen O ) = , 



ed anche 



I -77 E (cc , Vo ! cos O ) sen O ; cos , sen 0) | „ = . 



[_dt _J6 = 6 



Da queste uguaglianze si ricavano senza difficoltà le (1). 



Può presentarsi anche il caso che, essendo P sulla frontiera, nessuno 

 dei due archi a e « risulti composto di punti tutti (ad eccezione di P„) 

 interni al campo. In tale -ipotesi, se è = 6 , le (1) sono senz'altro veri- 

 ficate; se invece è ti =^6 , deve essere |0 O — d \— tt e a e à (entrambi 

 tangenti in P alla frontiera del campo) devono avere infiniti punti sulla 

 frontiera e dalla stessa parte di P . Esistono, perciò, in prossimità di P , 

 infiniti punti comuni a a e « , e da ciò scende che è ancora 



E (x„ , y ; cos O , sen H ; cos O , sen b ) = . 

 Ed infatti, per la condizione di Weierstrass, deve essere 



E (#o , y ; cos O , sen O ; cos O , sen O ) >: ; 



e se qui valesse il segno >, si avrebbe, per la |0 O — Ó \ — E + E > 

 Rendiconti. 1920. Voi. XXIX. 1° Sem. 40 



