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e quindi, per ogni punto M sufficientemente vicino a P e comune a a e 5, 



-ciò che contraddirebbe al fatto che a e fi fanno parte di una curva mini- 

 mante I c . Dalla uguaglianza E (as, , y ; cos , sen 6 ; cos O , sen fl ) = e 

 dalla condizione di Weierstrass si deduce, come dianzi, la validità delle (1). 



Possiamo dunque enunciare il seguente risultato: se gli archi, a tan- 

 gente variabile in modo continuo, a e fi, formano in P un punto ango- 

 loso e appartengono ad una curva minimante \ c , e se P è interno al 

 campo che si considera oppure, appartenendo alla frontiera, è interno ad 

 un arco, di tale frontiera, a tangente variabile in modo continuo, in P 

 valgono le (1). 



Questa proposizione si estende immediatamente al caso in cui la fron- 

 tiera del campo non ha tangente in P , purché presenti in esso un punto 

 angoloso e rivolga il minore dei due angoli ivi formati verso l'interno del 

 campo, e purché anche i due archi a e 5, se nessuno di essi ha tutti i 

 suoi punti (escluso P ) interni al campo, non siano separatamente tangenti 

 in P ai due archi della frontiera che in tal punto concorrono. 



3. Le condizioni (1) più non sono necessariamente soddisfatte se il 

 punto angoloso P è vincolato a restare su una data curva /? . Se gli archi 

 « e 5, dotati ovunque di tangente variabile con continuità, hanno tutti i 

 loro punti (escluso al più P ) interni al campo che si considera e restano 

 entrambi da quella parte di § che non contiene, in prossimità di /? stessa, 

 la frontiera del campo, in luogo delle (1) si ha soltanto, in P , la condi- 

 zione (2), dove ora O indica l'angolo di direzione della tangente a § in P , 

 tangente che si ammette esistere e variare con continuità in tutto un in- 

 torno del punto detto. Se, ferme restando le altre condizioni, supponiamo 

 che anche /? abbia in P un punto angoloso e che il minore dei due an~ 

 goti formati da /? sia quello che contiene fi e fi, possiamo mostrare che, 

 in P , non solo vale ancora la (2) (quando in essa 9 indichi V angolo 

 di direzione di una qualunque delle due tangenti anteriore e posteriore 

 a /?), ma valgono pure le (1). 



Ripetendo il ragionamento che si fa di solito per dimostrare la (2) 

 quando § non abbia punto angoloso, si ottengono le disuguaglianze 



nelle quali O e 6' indicano gli angoli di direzione delle tangenti in P 

 rispettivamente all'arco di /? che comincia in P e a quello che in tal punto 

 termina. Supponiamo che almeno una delle (1) non sia soddisfatta e comin- 

 ciamo con l'osservare che, scegliendo opportunamente il senso positivo sulla /?, 



«(M,P„) + r , 



a(P ,M)> °> 



(3) 



\ cos e j F«/ — IV | + sen 6 { I> — 1> \ > , 

 \ cos e' | F a r — IV ( + sen 6[\ Fy — f y , \ < , 



