ne viene t* = a>(a(x)), cioè la to(x) verifica l'equazione funzionale 



(5) 8«ft>(a;) = 

 onde 



(5') S>(x) = ^(j;) 



per n intero, positivo o negativo, intendendosi che in questo ultimo caso il 

 secondo membro dà 2" valori. 



5. Per il n. 3, sull'ellisse E p è | oo{y) | = q , onde sarà per la (5') 



|o»(a(£c)) | = e 2 ; 



se x è nella ellisse di indice q, x x è dunque su quella di indice * Il 

 « sistema delle ellissi E, e quindi la schiera delle coniche omofocali, ammette 

 « dunque la trasformazione S data da x l = x % — 2 ; in altri termini, questa 

 « schiera costituisce un sistema di imprimitività per il gruppo S n ». 



6. Il fatto ora notato permette facilmente di indicare la distribuzione 

 dei conseguenti e degli antecedenti dei punti di Si nel piano. Se a; è uno 

 di questi punti, e g è l' indice dell'ellisse passante per x, i suoi successivi 

 conseguenti saranno sulle ellissi di indici q 2 , q 4 , ... , , ... e, come si vede 

 facilmente, le loro distanze dall'origine x = cresceranno in modo para- 

 gonabile ai termini di una progressione ultrageometrica 



c , <?* , c* % , ... e*" , ... 



dove c è positivo e maggiore d' uno. In quanto agli antecedenti, i punti (x\) 



sono sull'ellisse di indice ]/ q , e per n = oo , questa ellisse tende al seg- 

 mento F; « i punti limiti degli antecedenti sono dunque sul segmento che 

 « congiunge i fuochi » . Ma v' è di più : « Ogni punto di Sì ha, come aggre- 

 « gato derivato dei suoi antecedenti, tutto quel segmento F». Infatti, ad x 

 la (3) fa corrispondere un punto t interno al cerchio C; ai sistemi dei 

 punti (x[) , (x'ì) , ■■■ (x' n ) , ... corrisponderanno i sistemi di punti 



4 _ 2™_ 



( 6 ) \it , yt , ... \/t , ... 



i quali hanno come punti limiti tutti i punti della circonferenza C. Fissato 

 arbitrariamente un punto e* 9 su questa circonferenza, si può scegliere in 

 ciascuno dei sistemi (6) un punto, rispettivamente t x , i 2 , ... , t n , ... la cui 

 successione tenda ad e i(> . Ma t n avrà in Sì il corrispondente 



< = t n + — , (»— 1,2,8,...), 



e la successione degli x' n tenderà a 2 cos 6 , che, per l'arbitrarietà di 6, è 

 un punto qualunque di r. 



