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7. L'ultimo risultato ora indicato può enunciarsi nel seguente modo: 



* Se con e, , e t , ... *„ , si rappresenta l'uno o l'altro dei due segni -j- o — , 



* se x è un numero qualunque complesso, o reale maggiore di 2 o minore 

 "di — 2, e se infine g è un numero reale arbitrario compreso fra — 2 e 2 



* (inclusi), è sempre possibile di determinare la successione dei segni e,, 

 « e t , ... in modo che la successione 



e, \ 2 I 7 2 + «, V2 + x , s 3 j/2 + ^ 1 7 2 + e, f/2 + x , ... 



« abbia per limite ». 



8. Dalla posizione w(x) = t risultando w(a(x)) = t* , ossia 



ne viene, per n intero positivo 



«„(-*) = + = •■"(*) + <0-* n (x) . 



cioè 



(7) ^ ) = (5^jfEI)'" + (^fS)'". 



Questa formula, conseguenza della (5) per n intero e positivo, dà la defi- 

 nizione dell'iterata generale di x* — 2 per indice di iterazione n qualsi- 

 voglia. A giustificare questa definizione, basta osservare che da essa si de- 

 duce immediatamente la legge degli indici 



per m , n qualsivogliano. La (7) dà dunque l'espressione analitica del gruppo 

 S" continuo. 



9. L'equazione di Schroeder 



S a f(x) = kf{x), 



ha, per a(x) = x* — 2 , soluzione per il solo valore k = 2, e questa solu- 

 zione, all' infuori d'un moltiplicatore costante arbitrario, è data da log co(x). 

 In corrispondenza, è log log a>(x) la soluzione della equazione di Abel. 



10. Per i valori v = 1 , 2 , 3 , ... , le espressioni 



oaì(x) -j- (o-'(x) 



somme delle potenze simili delle radici della equazione (1), sono i noti 

 polinomi Vi{x), con V = 2 , Y l = %, classici nell'algebra e nella molti- 

 plicazione degli archi ( l ), legati dalla relazione ricorrente 



(8) y,— av,_! + v„_ t = o. 



(') V. p. es. Serret, Gours cTAlgèbre supérieure, tom. I, pag. 138 e seg.; pag. 235 

 e seg. (Paris, Gauthier-Villars, 4* me éd., 1877). 



