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con a , b ,c , d costanti qualunque, e, nello stesso tempo, si pone 



( 5) u = <«, + w + <r*. [^7 • ^ ] • 



U, come funzione di ^ e di rj, soddisfa alla stessa equazione (3) alla quale 

 soddisfa u come funzione di t e di t' ('). 



Moltiplicando la funzione u per una conveniente potenza di r — t' , si 

 "trasforma la (3) in un'altra equazione dello stesso tipo in cui il nuovo p è 

 zero. L'equazione (3), quando in essa si supponga /? — 0, è indicata dal 

 Darboux col simbolo E(A,A'), mentre una soluzione qualunque di questa 

 equazione è indicata dallo stesso autore col simbolo Z(X,X'). Si mostra al- 

 lora subito che 



(6 ) 7>z(A,;/) smZ /x + i,X') , "^V* = za,x' + i) 



la prima delle quali, p. es., vuol dire esattamente che la derivata di Z(X , X') 

 rispetto a t, soddisfa alla equazione E (X -f- 1 , X'). 



3. Ricordiamo ora che il metodo di Eiemann per risolvere il problema 

 di Cauchy (concetto che precisa meglio quello vago di integrazione) per la 

 equazione (1) è fondato sull'osservazione che, se u e z sono due soluzioni 

 distinte di essa e poniamo 



(7) V=U — — Z , V = U — r — Z~, 



l'espressione 



\Jd£ + Ydt] 



è un differenziale esatto. Per cui, per ogni contorno c regolare, chiuso, rac- 

 chiudente un'area, all'interno della quale, contorno compreso, le funzioni u e z 

 sieno regolari, è 



(8) J (U<# + Ydt}) — . ■ 



Con l'aiuto della (8), se su di una linea s non intrecciata, aperta e 

 regolare, sono assegnati i valori che si vuole acquistino su s una soluzione u 

 della (1) e quelli delle sue derivate, in modo arbitrario ma compatibile, si 

 può, spesso, con facilità, costruire il valore di u in un punto (x , y) fuori 

 di s [problema di Cauchy per l'equazione (1)]. Basta applicare la (8) al 



(') Una dimostrazione di questa proposizione, valevole nel caso di p = e dovuta 

 all'Appell, è riportata dal Darboux nelle sue Lefons sur la théorie des surfaees, deuxième 

 partie, pag. 58, n. 349. La proposizione stessa è dovuta al Darboux nel caso particolare 

 in cui l'equazione ha la forma (1'); per il qual caso l'autore, nel luogo citato, dà una 

 rapida dimostrazione. 



