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contorno chiuso formato da s e dalle due caratteristiche della equazione (1) 

 uscenti dal punto {x , y) 



(9) f — ^_( J? _^) = , £ — x + r] — y = 



quando per s si assuma la funzione di Riemann relativa alla stessa equa- 

 zione (1) ed al punto (x,y), cioè la soluzione di (1) regolare nell'intorno 

 del punto (x , y) e che sulle due caratteristiche precedenti assume il valore 

 uno. Se z è regolare in tutto il campo indicato, chiamando 1 e 2 i due 

 punti d'incontro di s con le due rette (9) nell'ordine in cui le loro equa- 

 zioni sono scritte, si trova così la forinola di Riemann 



(10) 2u(x,y) = u ì + J\\Jd£ + Vdrj) , 



l'integrale essendo esteso al pezzo di linea s compreso fra i punti 1 e 2. 



4. Con l'aiuto della (10), la risoluzione del problema di Cauchy per la 

 equazione (1) è ridotto alla ricerca della funzione di Riemann corrispondente. 

 A questo scopo, posto 



(v — yY — té— xY 



ir 



4&G 



notiamo che x si annulla sulle due caratteristiche uscenti dal punto (x , y\ 

 e che la (1) ammette soluzioni funzioni di x soltanto, le quali non sono 

 altro che le soluzioni dell'equazione ipergeometrica 



(12) x( i_ x )g- + (1 _2x)^ + l(A+ 1), = 0. 



Per la nostra funzione di Riemann potremo quindi adottare la soluzione 

 della (12), regolare nell'intorno di x = e che per x = si riduce ad uno. 



Occorre distinguere vari casi. Per X = e 1 = — 1 è semplicemente 

 2 = 1 ■ 



Del resto, qualunque sia X , si può sempre porre la funzione di Rie- 

 mann sotto la forma di una serie ipergeometrica 



(13) £ = F(— 4 + 1 , 1 ,x) 



la quale si riduce, appunto, ad uno per 1 = e X = — 1, e, per l eguale 

 ad un numero intero positivo o negativo, si riduce ad un polinomio in x. 

 Per ogni altro valore di X , affinchè si possa dare alla funzione di Riemann 

 l'espressione (13), occorre che, per ogni fissato punto (x , y) , il campo di 

 variabilità di ? e , che cade nelle nostre considerazioni, sia tale che in 

 esso sia \*\<C 1 • In ogni caso, in questo campo, dev'essere £=J=0- 

 In quei casi particolari in cui 



-1<A<0, 



