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e 5Pi, è data f. Ma è noto che, assegnate g> e g>i, delle due funzioni f ed f t , 

 una sola si può dare ad arbitrio e che, allora, la soluzione della (1) è de- 

 terminata e si può costruire; le due equazioni (19) devono, dunque, ridursi 

 una all'altra. Possiamo, quindi, data f o f x , determinare f x o f, dall'una 

 o dall'altra delle (19). Se, in particolare, supponiamo che sia identica- 

 mente $p = <jpj=o, per le (17) dev'essere 



(17') /(1) = , A(1) = . /"(1) = 0, 



e le (19) ci danno 



(I) 



f x (£ ) F — l , X + 1 , 1 . - 



4 fa; 



In queste forinole abbiamo espresso s per mezzo della corrispondente 

 funzione ipergeometrica, ed P' indica la derivata di F rispetto al quarto ar- 

 gomento. La prima delle (I) è un'equazione integrale di cui la seconda dà 

 la soluzione. 



6. Se teniamo presente che, delle quattro funzioni §p, <p x , f, fi , si pos- 

 sono dare ad arbitrio tre qualunque di esse, sorge la questione più generale 

 di determinare allora la quarta dall'una o dall'altra delle (19). Quando l'inco- 

 gnita è g> o <jpx, questa si può determinare risolvendo un'equazione integrale 

 che ci può essere offerta, indifferentemente, dall'una, o dall'altra, delle (19). 

 È però da notare che y> e <p x soddisfano anche ad altre equazioni integrali 

 che sono da preferirsi alle prime quando si tratti di determinare una di 

 queste due funzioni. Per determinare queste nuove equazioni, applichiamo 

 la forinola di Riemann, invece che nella regione finita del solito quadrante 

 attraversata dalla retta »? = y, in quella che è pure finita ed attraversata 

 dalla retta g=x. Le due espressioni analitiche che ci dànno allora la 



soluzione richiesta della equazione (1), sono tali che, per y = 0, u e — 



tendono effettivamente ad / ed /, ; mentre, affinchè u e — tendano a ip e 



g>i , per a; = 1 , devono essere soddisfatte due condizioni che si trovano in 

 modo analogo al precedente, e sulle quali si possono pur fare considerazioni 

 analoghe a quelle precedentemente fatte. Di queste condizioni scriveremo 

 soltanto la prima. 



(20) <p(t/) = /(y-hl)— PTA*) è - AG) «1 # + 



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