Questa equazione (e analoghe conclusioni si ricaverebbero dall'altra condi- 

 zione che dev'essere verificata fra le funzioni f, f\ ,<p é(p\ Q che non ab- 

 biamo scritta) mostra che, se sono date f, fi è ipi, la funzione <p si può 

 ottenere risolvendo un'equazione della forma 



y 



-'0 



(21) 9b)+ ) 9(1) V\ -A, 2+ 1,1, 



(y — l) ■ : 



mentre, se sono assegnate f, f Y e <p, la funzione <p x può determinarsi come 

 soluzione di un'equazione della forma 



(22) 



( o \i(l) F [- X , 1+ 1 , 1 , ] = 



le funzioni <2> e *P essendo funzioni note. 



I casi più semplici che possono presentarsi sono quelli in cui X è un 

 numero intero positivo o negativo, nei quali casi il nucleo di ciascuna delle 

 equazioni precedenti è un polinomio intero in y — rj. Con un numero suffi- 

 cientemente grande di derivazioni, la determinazione di q> e di g> 1 si riporta 

 alla integrazione di un'equazione lineare a coefficienti costanti. Nei casi più 

 generali si dovrà ricorrere alla teoria generale che, per la forma speciale 

 dei nuclei precedenti, è abbastanza semplice e nota. 



III. 



7. Le nostre considerazioni ci hanno fatto scoprire un'equazione integrale 

 di Volterra la cui risoluzione si ottiene con semplici operazioni di deriva- 

 zione e di integrazione, cioè quella contenuta nella prima delle (I). Vi sono 

 altre equazioni della stessa natura che godono di analoghe proprietà. Per 

 lo studio di queste nuove equazioni occorre tener presenti le relazioni che 

 legano la derivata di una serie ipergeomet'ica, rispetto al suo quarto argo- 

 mento, con le serie ipergeometriche contigue ad essa: con quelle serie iper- 

 geometriche, cioè, che si ottengono dalla prima aumentando, o diminuendo, 

 di un'unità uno dei primi tre parametri da cui la serie ipergeometrica pure 

 dipende. L'insieme di tutte queste relazioni si ottiene sistematicamente ri- 

 cordando che un'equazione E (A, X') ammette soluzioni omogenee in r e t' 

 della forma 



r 



T m (f(t) , t = — , 



la funzione <p{t) essendo una soluzione della equazione ipergeometrica 

 (23) t (1 — t) g>"{t) -f- [1 — m — X — (1 — m -\- X') t] 9 '{t) -j- mX'g>(t) — , 

 ed applicando a queste soluzioni le proprietà espresse dalle (6). Delle solu- 



