Y n in P) definita da l e dall'elemento lineare PP' di e; l'elemento lineare /', 

 uscente da P' sulla superficie geodetica e formante ivi con la geodetica de- 

 terminata da PP' lo stesso angolo che l forma in P con c, si dice parallela 

 ad l in P' secondo c ; con un processo d integrazione risulta definita la pa- 

 rallela ad l secondo c in un punto qualunque di questa curva. 



Una trasformazione puntuale (generalmente biunivoca) di una V„ in Y' n 

 non è in generale siffatta che a direzioni parallele in V„ corrispondano di- 

 rezioni parallele in : nasce quindi il problema di individuare quelle tras- 

 formazioni che conservano il parallelismo. 



Per la proprietà caratteristica delle geodetiche di avere tutte le tangenti 

 fra loro parallele (quando sia curva di trasporto la geodetica stessa), le tras- 

 formazioni in esame sono certamente geodetiche; quindi è chiaro che i mezzi 

 per questa ricerca debbono attingersi dalla Memoria del prof. Levi-Civita, 

 Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche ove sono determinati i 

 tipi di ds* che ammettono trasformazioni geodetiche (che non siano sempli- 

 cemente prodotti di una isometria per una similitudine). 



ócc ' 



2. Indichiamo con £ (i> = -j-^- i parametri della direzione da traspor- 



os 



tare, con d la differenziazione da eseguire lungo la curva di trasporto in V„; 

 aggiungiamo un apice alle grandezze corrispondenti relative alla varietà 

 trasformata Y' n . 

 Poniamo 



* '* ~ ós' ' ÓS ~~ ós' ~ ' 



X essendo funzione del posto e della direzione ó che si trasporta. 

 Il trasporto per parallelismo è regolato dalle equazioni 



in V n : d§ li > =— Ti 3 ' 1 ] ì^dxx 



ìl i i ) 



in v; : ar» = — y \ Jl \ r w) d Xl . 



ili i ) 



Utilizzando la posizione fatta, nella ipotesi di conservazione del paral- 

 lelismo si ha 



r«« + y(j^-j^) { ^,=o. 



Osserviamo subito che di = : infatti, detto ós l'elemento lineare da 

 trasportare e ós* l'elemento lineare d'arrivo dopo un cammino qualsiasi, si 

 ■ha, per il parallelismo, ós = ós* ; e poiché ad elementi paralleli in V n 



(>) Annali di Matematica, ser. II, tomo XXIV (1896), pp. 255-300. 



