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corrispondenza geodetica assumono la forma 



n — m+1 n— m+1 pi 



d**= y_t n5 1%*— fati y_r, s k rt dx r dx s 



Pi 



X ^r,s ^V» dx r dx s , 



ove C e c sono due costanti arbitrarie; ip h è funzione della sola se (>* 

 è radice semplice, mentre è una costante (=4=0) nel caso opposto; 2 rs k rs dx r dx s 

 è una forma differenziale positiva a soli si argomenti; e infine n'j\\p p . — xp Pi \ 

 indica il prodotto degli argomenti indicati per j =$= l . 



Nel nostro caso, per essere a/a = cost., risulta (') che tutte le tp h sono 

 costanti (fra loro differenti); sicché, liberati da coefficienti costanti inessen- 

 ziali, gli elementi lineari corrispondenti si scrivono 



n—m-\-\ pi 



n— 1 pi 



i 



5. Il risultato diviene geometricamente evidente se si cerca di realiz- 

 zare questi elementi lineari in un ambiente euclideo. 



Si costruisca per ogni valore di / una Vej, che diremo (S u avente l'ele- 



Pi 



mento lineare dato da ds* t) = "5~ r , s krs dx r dx s , entro uno spazio euclideo 



2?z-i+l 



S ( j) (la cui dimensione sarà al massimo (l) = — 1. Disponiamo 



questi S(j, entro uno S (1)+(i)H .... +(fl _ m+1) in modo ch'essi abbiano un punto 

 comune per cui passino tutte le er, e risultino a due a due ortogonali. 

 Teniamo fisso S ( i) e spostiamo S (2) parallelamente a se stesso (quindi orto- 

 gonalmente a S (1) ) in S (l)+(?) , trascinando seco <r 2 in modo che il punto 

 fissato su <J t descriva tutta la <x, : si ha una Ve lH .e a che risulta di trasla- 

 zione, sia rispetto a ff 2 sia a a x . Poi spostiamo S (3) , con entro <x 3 , in modo 

 che il punto fissato su <f 3 descriva la Ve 1+es e si avrà una Ve 1+ e a+ e, ; e così 



(') Dalle equazioni (E) (24) in Sulle trasformazioni ecc., oppure E) d) in Métho- 

 dei ecc., quando vi si faccia == cost. 



