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Esprimendo le & sotto forma canonica 



h = qKh 



con che q rappresenta l 'ampiezza dello spostamento rigido considerato, le 

 equazioni (1) diventano 



(2) &n/ij ~{~ X'nlji == f&i ^n/j ~\~ ! l j X n /i 



nelle quali jx = log g~ l . 



2. Ciò premesso, proponiamoci di ricercare a quali condizioni debba ot- 

 temperare la [C], e, se del caso, addirittura la metrica della varietà V n , 

 perchè il movimento rigido infinitesimo (nel quale ogni punto si sposta di q 

 lungo la linea C che passa per esso) abbia carattere traslatorio, nel senso 

 che: la corrispondenza delle direzioni (uscenti da un punto generico prima 

 e dopo lo spostamento rigido) debba ridursi ad un semplice trasporto per 

 parallelismo (di Levi-Civita) lungo le linee C. Notiamo subito che questa 

 definizione di spostamento traslatorio è assai più completa (e quindi più 

 restrittiva) di quella concernente soltanto l'eguaglianza delle ampiezze per 

 ogni punto (q = d) con cui si caratterizzano i così detti scorrimenti 

 Vedremo che alle nostre traslazioni infinitesime competono proprio tutte le 

 proprietà delle traslazioni dell'ordinario spazio euclideo, compresa la costanza 

 dell'ampiezza. 



3. Per la trattazione matematica della questione conviene in primo 

 luogo associare alla congruenza [C] altre n — 1 congruenze ortogonali tra 

 loro e a [C], per formare una w-upla ortogonale caratterizzata dai sistemi 

 covarianti X h n (h = 1 , 2 ,...,») . 



Denotiamo col simbolo d l'incremento (di una generica funzione del 

 posto) dovuto al movimento rigido elementare, con ó l'incremento corrispon- 

 dente ad uno spostamento elementare con parallelismo di Levi-Civita, e ri- 

 cordiamo che, lungo una linea di elemento lineare ós„, quest'ultimo incre- 

 mento è definito dalle formole ( 2 ) 



às n ~-^( l j M n (*-l,^,...,n). 



4. L'equivalenza del movimento rigido con lo spostamento, a paralle- 

 lismo, di una direzione qualunque Xi , lungo la linea C , si scrive 



dki = èli (e = 1 , 2 , ... , n) . 



( 1 ) Cfr. L. Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi continui di trasformazioni [Pisa,. 

 Spoerri, 1918], § 183. 



( 2 ) T. Levi-Civita, Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente 

 specificazione geometrica della curvatura riemanniana [iiendiconti del Circolo matema- 

 tico di Palermo, tomo XLII, 1917, pp. 173-204] § 5. 



