In base alla forinola precedente, ed osservando che ^^ _== ^« > ' <l ues ta 

 equivalenza assume l'espressione 



y . ^ a* = | ^ | a, j«* (< = 1 , 2 , ... , »>. 



Ove si ricordi la formola di derivazione covariante 

 si ha più semplicemente 



(3) f Atf% = (t=l,2,... ,»). 



È evidentemente sufficiente che le (3) siano soddisfatte per una dire- 

 zione qualunque A A/i della w-upla ortogonale, ciò che dà le equazioni 



(4) f . hia = (h, i = 1 , 2 , ... , ») 



che esprimono le condizioni necessarie e sufficienti perchè il movimento, che 

 supponiamo rigido, avvenga con parallelismo. Per ottenere equazioni inva- 

 rianti, moltiplichiamo i primi membri in (4) per A ( ft ° e sommiamo, ciò che dà 



X? li* X hliJ = (k , h = 1 , 2 , ... , a) . 



i 



Il primo membro rappresenta (') il coefficiente di rotazione y h1in ed ab- 

 biamo quindi in forma più comprensiva 



(A) Yhkn = (k, h =1,2,. ..,»). 



Per h = n e k arbitrario si ha in primo luogo 



(5) Ynkn = ; 



dunque si ha che le linee C sotto geodetiche ( 2 ). 



Per tt =4= k =j= tt le (A) esprimono che la rotazione durante il movi- 

 mento è nulla. 



5. Esaminiamo adesso più da vicino le conseguenze portate dalle equa- 

 zioni di Killing, tenendo conto dei risultati precedenti, compendiati nelle (A). 



( J ) G. Ricci e T. Levi-Civita, Méthodes de calcul diffèrentiél absolu [Mathematische 

 Annalen, Bd. 53, 1901], pag. 148. 



( 2 ) La stessa Memoria, pag. 154. 



Rendiconti. 1920. Voi. XXIX. 1° Sem. 46 



