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Moltiplicando le (2) per X ( £ ì$ e sommando rispetto ad i e /, ove si 

 tengano ancora presenti le definizioni dei coefficienti di rotazione y, si ha: 



re 



(6) y,, X ( h J) Xn* {m l n /j + fij l n/i ) = y nhh -j- Ynm (h,k = l , 2 ,...,«) . 

 i 



Per h , k^=n il primo membro si annulla identicamente ; dunque 



y»hh + Ynhh = h , k =4= n , 



relazioni di cui il significato è che : le n — 1 congruenze associate a [C] 

 costituiscono un sistema canonico (e ciò comunque si scelgano le congruenze 

 stesse). 



In virtù delle (5) abbiamo y n hn = 0; dunque, per k = n, le (6) di- 

 ventano 



y. xf m = (^ = 1,2, ... , n) 



i 



Ne consegue q = cosi, donde l'annunciata proprietà delle traslazioni 



di far subire, a tutti i punti, spostamenti di eguale ampiezza {cioè di 

 entrare fra gli scorrimenti). 



Le (6) si riducono così alla forma 



(B) Ynhh + Y«kh = (h , k — 1 , 2 , ... , n) 



e insieme alle (A) porgono le condizioni necessarie e sufficienti perchè la 

 congruenza [G] sia costituita da traiettorie di un moto rigido traslatorio. 



6. Per esaurire rapidamente la discussione del sistema (A) , (B) , giova 

 trar partito dalla circostanza che possiamo sempre dare alla trasformazione 



infinitesimale la forma X(f) = — — . 



Questo implica £ (i> = per i <^n , = 1 , ossia 



(7) X { n = per i<n, e C = 



Q 



che in base ai risultati precedenti è una costante. 



Le equazioni di Killing equivalgono, in questo caso, ad avere tutte 

 le «ijj indipendenti da x n - 



Dalle relazioni di ortogonalità 



re 



V } J< 1 > e 



"l 



per le (7) risulta 



<8) 



Xh/ n = per k <C n , e X n/n = q » cost. 



