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3. Data un'area Gt finita, tutta interna ad Sì, ed un numero positivo R 

 arbitrario, è sempre possibile di determinare un intero n tale che, per ogni x 

 di £1 ed ogni n > n , sia 



(3) |S-#|>R. 



Sia infatti x un punto di 6t; poiché esso appartiene ad Sì, esiste un n x 

 tale che, per n^>n x , si ha (s prescelto positivo arbitrario) 



|3?n|> B + £ • 



Descritto dunque un cerchio di centro x n e di raggio inferiore ad e, 

 la x = a n (x') farà corrispondere ai punti x di questo cerchio un'area, ge- 

 neralmente di più pezzi, ma di cui una porzione connessa e, contenente x 

 nel suo interno, sarà tutta in €1: questa e è dunque proiettata da a n nel 

 detto cerchio, e quindi per i punti di a la (3) è soddisfatta. Ma poiché una 

 tale area e esiste per ogni punto di CI, per un teorema (') che coincide in 

 sostanza colla nota proposizione di Heine-Borei, esiste un n che vale per 

 tutto £1 a soddisfare alla (3). 



4. Essendo q un numero prefissato positivo e maggiore dell'unità, è fa- 

 cile vedere come si possa determinare un numero positivo R > 1 , tale che, 

 per ogni |jc|>.R, si abbia 



(4) \a{x)\> q\x\ m -^ (*) ; 

 ne segue, per quei valori di x, 



(4') \x n \> ^««-f— ■<»-i> n - , | J? |<»-i> n ; 



i conseguenti x n di x tendono dunque all'infinito come i termini di una 

 progressione ultrageometrica a bn , a e b positivi e maggiori dell'unità. 



5. È facile di rilevare le seguenti proprietà del campo Sì: 



a) Esso non comprende tutti i punti del piano. Basta pensare alle 

 radici delle equazioni u n {x) = x. 



b) Esso è connesso. Siano infatti x ed y due qualunque suoi punti : 

 si può prendere ti abbastanza grande perchè x n , y n siano fuori del cerchio 

 di raggio R di cui al n. 4; si possono allora unire x„,y n mediante una 

 linea continua l tutta esterna ad R e perciò tutta appartenente ad Sì. Ap- 

 plicando ora la S~", ad l corrisponderà una linea composta in generale di 

 più pezzi, ma di cui un pezzo unirà i punti xy e sarà, come la l, tutto 

 in Sì: il campo Sì è dunque connesso. 



( x ) Da me dato fino dal 1832. Ved. « Mem. della R Accad. delle scienze dell'Isti- 

 tuto di Bologna n, serie IV, tomo III, pag. 153. 



( s ) Ved. « Rendiconti della R. Accad. delle scienze di Bologna », adunanza 25 gen- 

 naio 1920. 



