c) Esso è aperto: cioè ogni suo punto gli è interno. Se infatti un 

 punto x del contorno di Sì potesse appartenere ad Sì, si avrebbe, per n ab- 

 bastanza grande, \x„\^> R -f- * > e quindi un cerchio di centro x n e di raggio 

 minore di * apparterrebbe tutto ad Sì. Vi apparterrebbe dunque l'area otte- 

 nuta trasformando questo cerchio mediante la S~ n , e quindi un pezzo a del- 

 l'area contenente x nel suo interno: contro l'ipotesi che x è al contorno di Sì. 



d) Indicando con r il contorno di Sì, si ha dunque che nessun punto 

 di r appartiene ad Sì ; che jT è trasformato in sè da S; che r è tutto in- 

 terno al cerchio R; che r è chiuso. 



e) Se r constasse di un sol punto g, sarebbe cc(z) = z e z sarebbe 



dee (xì 



la sola radice dell'equazione a(x) = 2, e pertanto annullerebbe la ; 



ma è noto che in tale caso tutto un intorno di z verrebbe proiettato, da S , 

 internamente all'intorno medesimo, e con ciò z non è sul contorno r di Sì. 

 Se r constasse di un numero finito di punti Zi fosse a(gi) = z t , 



i essendo un intero fra 1 e p , sarebbe anche a r (zì) — Zi; ma si può pren- 

 dere r abbastanza grande perchè sia m r ^>p, onde l'equazione a r (x) = Zi, 

 che non può avere radici diverse da Zi ,z 2 , ... z p , dovrebbe avere qualche 

 radice multipla, e si conclude come precedentemente. Se invece a(zi) non è 

 uguale a *< stesso, le z x ,s t , ... z p saranno distribuite, da S, in un certo nu- 

 mero di sistemi circolari ; essendo allora q il minimo comune multiplo degli 

 ordini di questi sistemi, sarà a q (Zi) = Zi per i= 1 , 2 , ... p, e si torna alla 

 conclusione precedente. Segue da ciò che T non può constare di un numero 

 finito di punti. 



f) I punti limiti degli antecedenti dei punti di Sì appartengono a r. 

 Se è possibile, un tale punto A, limite degli antecedenti x' n di x, appar- 

 tenga ad Sì. Determinato il cerchio R come al n. 4, per ogni x esterno 

 ad R è ora, poiché X è punto limite degli antecedenti di qualunque 

 conseguente di x, si può senza restrizione supporre che x sia esterno al 

 cerchio R. Ma appartenendo X ad Sì, si avrà un indice p tale che ce p (X) 

 sia superiore, in modulo, ad \x\ ma a p (X) sarà pure punto limite di an- 

 tecedenti di x, onde si avranno antecedenti di x di modulo superiore ad |ic|, 

 il che è impossibile; X non può dunque appartenere ad Sì. 



6. Si possono descrivere cerchi aventi il centro nell'origine e tali che 

 le loro circonferenze ed i punti esterni appartengano ad Si . I loro raggi 

 avranno un limite inferiore, non nullo (n. 5, e) : sia q questo limite infe- 

 riore, C la circonferenza col centro nell'origine e raggio q . 



Si vede subito 



a) che ogni punto esterno a C appartiene ad Sì; 



b) che qualche punto della circonferenza C non appartiene ad Sì; 

 infatti, se così non fosse, si potrebbe ad ogni punto x di C fare corrispon- 

 dere un cerchio di centro x e di raggio s x tutto appartenente ad Sì (n. 5, ff), 



