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ed allora, per il teorema di Heine-Borei ('), i punti x apparterrebbero ad 

 un numero finito di tali cerchi, cioè un e potrebbe servire per tutti gli x. 

 Ma allora l'esterno di ogni cerchio di centro o e raggio q — e, con «'<[«, 

 apparterrebbe tutto ad Sì , contro la definizione di g . 



c) Segue, da ciò. che C è tangente a r, nel senso che C e f hanno 

 almeno un punto in comune, ma che nessun punto di r è esterno a C . 



d) Se tutti i punti di C appartengono a T, nessun punto interno 

 a C può appartenere ad Sì (n. 5, b) ; C costituisce dunque l'intero contorno 

 di Sì: ma esso è trasformato in sè da S, e coincide quindi colla cassinoide 

 ad m fuochi \a(x)\ = g , la quale può ridursi al cerchio solo se tutti i suoi 

 fuochi coincidono con x = . Deve dunque essere a(x) = x m , onde g = 1. 

 Fuori di questo caso, r, e quindi Sì, hanno punti interni a C . 



I punti di contatto di C con r si indicheranno con g. 



7. L'antecedente n sima della C è la cassinoide definita dall'equazione 



essa si indicherà con G n . Sulla C„ esistono gli m n antecedenti (x' n ) di ogni 

 punto di contatto g di C„ con r; essi sono punti di contatto di C„ con T. 

 La C„ ha m n fuochi : essi sono gli antecedenti n simi di x = , ed n — l sim< 

 delle radici dell'equazione a(x) = 0. 



Per la definizione stessa di risulta che C„ non può avere punti 

 esterni a C n _i . Le curve 



sono dunque ciascuna interna alla precedente, all' infuori dei punti comuni. 



Sia x (0) , x a) , ... x in) , ... un sistema di punti comunque presi, colia 

 condizione che x M sia su C„ ; sia £ un punto limite del sistema. Sia £ in Sì ; 

 allora apparterrebbe ad Sì tutto un cerchio (e) di centro £ e raggio * , e si 

 potrebbe assegnare un n tale che, per n^>n, il campo ottenuto applicando 

 la S" ad («) sia tutto esterno al cerchio R (n. 3): ma si hanno in (e) punti 

 a; Cn> tali che \S n x ln) \ — g , dove n può essere maggiore di n\ si viene dunque 

 ad una eontradizione. I punti limiti del sistema considerato appartengono 

 dunque a r, che è quindi il luogo limite delle curve C„. 



9. Siano genericamente w le radici della derivata a'(x) di a(x). Dirò 

 che a(x) è nel caso A se nessuna w appartiene ad Sì, ed è nel caso B 

 quando qualche w vi appartiene. 



a) Nel caso A, non appartiene ad Sì nessuna radice di a' n (x): in- 

 fatti, si ha 



(5) 



\a n {x)\ = q: 



Co 1 Cj , C; 



2 1 



da n (x) 



dx 



= a'(Xn-i) «'(#«-2) ... cc'{x) ; 



(*) Ved. la citazione al n. 3. 



