— 407 — 



le radici di a' n (x) sono dunque le w ed i loro antecedenti fino all'in- 

 dice n — 1 . 



b) In questo medesimo caso A , ogni C„ è costituita da una sola ovale. 

 Consideriamo infatti la corrispondenza posta fra x ed y da y = a n (x): a C„ 

 corrispondono m n cerchi di raggio q sovrapposti negli m n fogli della rie- 

 manniana luogo di y: ora questi cerchi contengono nel loro interno tutti i 

 punti di diramazione della riemanniana stessa, poiché questi non sono altro 

 se non conseguenti dei punti w . Ma da codesti punti partono le linee di 

 saldatura dei fogli della riemanniana, formate per esempio da semirette: 

 esse attraversano dunque i cerchi sovrapposti che vengono così a costituire 

 un'unica linea chiusa sulla riemanniana. La corrispondente cassinoide C„ del 

 piano x sarà quindi composta di un'unica ovale. 



10. Le radici di a(x), quelle di a n (x) ed il punto x = 0, apparten- 

 gono tutti ad Sì, o non ve ne appartiene nessuno: infatti le dette radici non 

 sono altro se non gli antecedenti dello zero. 



Ora, nel caso A, lo zero non appartiene ad Sì. Infatti, se le radici di 

 una ctp(x) cadono tutte entro C„, ma non tutte entro C n+ i , in modo che 

 fra le due curve se ne trovino r, per un noto teorema di Dell'Agnola ( x ) 

 si troveranno fra le due curve anche r radici della derivata a'Jx). Ma nel 

 caso A queste sono in Sì, quindi interne a tutte le C„: lo stesso deve dunque 

 essere delle radici di a^x). qualunque sia (i: queste, e quindi anche x = 0, 

 non appartengono ad Sì. 



Reciprocamente, se x = non appartiene ad Sì, non vi appartengono 

 le radici di e quindi, per lo stesso teorema citato, qualche radice di «'^ , 

 e perciò nessuna delle w e delle loro antecedenti ; si è così nel caso A . 



Di queste premesse verrà fatta applicazione nella Nota II. 



(') « Rendic. della R. Accademia dei Lincei », serie 5 a , voi. XIII, fase. 8. 



