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Matematica. — Superficie del 4° ordine con gruppi infiniti 

 discontimi di trasformazioni lira donali. Nota I del Corrispondente 

 Gino Fano. 



I primi esempì di superficie algebriche che ammettono gruppi infiniti 

 discontinui di trasformazioni birazionali (non contenuti in gruppi più ampi 

 e continui) sono stati dati da Humbert e Painlévé ( ] ). Più tardi, Enriques (*) 

 ha stabilito che queste superficie appartengono tutte a una delle due cate- 

 gorie seguenti: 1) superficie contenenti un fascio di curve ellittiche ( 3 ); 

 2) superficie (regolari) aventi i generi tutti eguali all' unità ; e Severi ( 4 ) 

 ha dimostrato che, in connessione colla base del sistema delle curve esistenti 

 sulla superficie, si può costruire una forma quadratica a coefficienti interi, 

 tale che il gruppo delle trasformazioni birazionali della superficie si rispecchi 

 in un gruppo isomorfo (oloedricamente o meriedricamente) di sostituzioni li- 

 neari di questa forma quadratica. Singoli casi di superficie così fatte, e, fra 

 altre, di superficie del 4° ordine, sono stati studiati da Severi stesso, Godeanx, 

 Snyder, Sharpe, Rosenblatt e da me. Nella presente Nota, e in altre che 

 seguiranno, vengono trattati alcuni casi nuovi di superficie del 4° ordine (F 4 ) 

 con gruppi birazionali infiniti ( 5 ), cominciando colla F 4 contenente due rette 



(') La citazione che si trova generalmente per Humbert (Compt. Rend., 30 gen- 

 naio 1897), e quella, anche frequente, di Painlévé (Compt. Rend., 14 febbraio 1897), non 

 sono esatte; fra altro, nei due giorni sopra indicati non ebbe luogo seduta dell'Accademia 

 di Parigi. L'esempio dato da Humbert, che è caso particolare della superficie di Kummer, 

 si trova, quasi incidentalmente, nelle Note Sur la décomposition des fonctions 6 en 

 facteurs, Compt. Rend. de l'Acad. d. Se, voi. 126 (1° sem. 1898), pag. 394, e Sur les 

 fonctions abéliennes singulières (ibid., pag. 508); si cfr. anche la Memoria avente questo 

 stesso ultimo titolo, nel Journ. de mathém., ser. 5 a , voi. 6 (1900), pag. 279, in part. 

 parte IV", pag. 372. L'esempio dato da Painlévé, fondato sopra proprietà della funzione 

 ellittica P{u), si trova nella Nota Sur les surfaces qui admettent un groupe infini discon- 

 tinu, Compt. Rend., voi. 126 (1° sem. 1898), pag. 512. 



( a ) Sulle superficie algebriche che ammettono una serie discontinua di trasforma- 

 zioni birazionali, Rend. R. Accad. dei Lincei, ser. 5 a , voi. 15 (1906 a ), pag. 665. 



( 3 ) Categoria più ampiamente discussa nelle due Note Sulla classificazione delle 

 superficie algebriche e più particolarmente sulle superficie di genere lineare — 1 

 Rend. e ser. cit., voi. 23 (1914,), pp. 206, 291. 



( 4 J Complementi alla teoria della base per la totalità delle curve di una superficie 

 algebrica. Rendic. Circ. mat. di Palermo, voi. 30 (1910 2 ), pag. 265. 



( 5 ) E si troveranno forse elementi per avviare lo studio di tipi generali di super- 

 ficie che ammettono gruppi così fatti ; forse anche per la determinazione di questi tipi, 

 in corrispondenza ai valori più piccoli del numero q delle curve costituenti una base. 



