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sghembe, primo esempio di studio completo di un gruppo per il quale la 

 forma quadratica fondamentale di Severi è ternaria. 



1. Consideriamo la superficie più generale del 4° ordine, F 4 , dello 

 spazio S 3 , contenente due rette sghembe r v , r 2 ( x ) (superficie che dipende 

 da 17 moduli). Tale superficie non ammette trasformazioni proiettive (all'in- 

 fuori dell'identità). Invero, una trasformazione così fatta dovrebbe avere r x 

 e r 2 come rette unite, oppure dovrebbe scambiarle fra loro ; e non potrebbe 

 in nessun caso essere involutoria (nè potrebbe essere involutoria una sua 

 potenza), perchè F 4 dipenderebbe da 11 moduli al più ( 2 ), anziché da 17, 

 Ora, se r x e r 2 sono rette unite, l'omografia dovrebbe trasformare in sè l'in- 

 voluzione Q3 1 (affatto generica) che sopra ciascuna di esse segnano le cubiche 

 intersezioni'di F 4 coi piani per la retta stessa; potrebbe quindi soltanto 

 scambiare a^2 a 2 i quattro punti doppi di ciascuna g 3 l ; e perciò il suo 

 quadrato, avendo come punti uniti tutti i punti r x e r 2 , sarebbe l'identità, 

 oppure un'omografia involutoria (potendo soltanto scambiare i due punti 

 intersezioni ulteriori di F 4 con ogni retta appoggiata a e r t ). Se invece 

 r x e r % vengono scambiate fra loro, le stesse considerazioni valgono per il 

 quadrato di tale (supposta) omografia. 



Qualunque trasformazione biràzionale non identica sopra F 4 dovrà dunque 

 operare in modo non identico sopra i sistemi lineari di curve della super- 

 ficie; e, inoltre, non potrà mutare in sè stesso nè il sistema lineare delle 

 sezioni piane di F 4 , nè un qualsiasi suo multiplo (la divisione dei sistemi 

 lineari essendo, sopra F 4 , operazione univoca). 



Poiché la più generale superficie del 4° ordine non contiene altre curve 

 all'infuori delle sezioni piane e loro multipli, la F 4 condotta genericamente 

 per due rette sghembe non conterrà che curve composte mediante tali rette 

 r x , r 2 e le sezioni piane C . Queste tre linee formeranno pertanto sopra F 4 

 una base ( 3 ) ; noi sostituiremo però alle rette r x , r t le cubiche loro residue 

 rispetto alle sezioni piane (y ì = Q — r 1 , y t = C — r t ), considerando perciò 

 come base la terna di curve y\ ,Yt,C. 



(') Le F 4 contenenti due rette sghembe rientrano in uno dei casi considerati da 

 Sharpe e Snyder nella Memoria Biralional transformations on. certain quartic surfaces, 

 Trans. Amer. Math. Soc, voi. 15 (1914), pag. 266; cfr. in part. § 3, dove si suppone che 

 la F 4 contenga una retta, e un'altra curva razionale, di ordine n, incontrante la retta in 

 n — 1 punti. Lo studio è però quivi appena avviato; inoltre nel caso presente, n = \, 

 vi è sulla superfìcie un secondo fascio di curve ellittiche, e il gruppo è perciò più ampio 

 che non per w > 1. 



( a ) Severi, Mem. cit. Complementi ecc.; ved. in particolare n. 12, b). 



( 3 ) Severi, Sulla totalità delle curve algebriche tracciate sopra una superficie al- 

 gebrica, Math. Ann., Bd. 42 (1906), pag. 194, nonché la Nota precedente nei Compt. 

 Eend. de l'Acad. d. Se, voi. 140 (1° sem. 1905), pag. 361. Inoltre: La base minima pour 

 la totalité des courbes tracées sur une surface algébrique, Annales Ec. norm. sup., 

 3èm sér., tom. 25 (1908), pag. 449. 



