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Poiché i gradi virtuali di yi , y 2 e C valgono rispett. , , 4 , men- 

 tre C taglia Yi e y% in 3 punti, e queste ultime si tagliano in 2 punti, il 

 determinante di tale base sarà 



D = 



2 3 



2 3 



3 3 4 



= 20 



Dico, ora, che la base considerata è intermediaria ( l ), ossia che il suo 

 determinante ha il valor assoluto minimo possibile. Infatti, se con altra 

 base si potesse avere un determinante di valor assoluto <C 20 , questo va- 

 lore dovrebbe essere un divisore di 20; e anzi, più particolarmente, sarebbe 

 il quoziente della divisione di 20 per un numero quadrato perfetto (*); 

 dunque soltanto 20:4 = 5. Ora il determinante in parola è, in ogni caso, 

 simmetrico, e come elementi principali ha numeri tutti pari (perchè del 

 tipo 2p — 2 , essendo p il genere delle singole curve costituenti la base) ; 

 perciò, dei 6 termini, certo 4 sono pari, e gli altri 2 (per la simmetria) 

 sono eguali fra loro in valore e segno. Il determinante sarà dunque anch'esso 

 numero pari, e non potrà perciò essere = 5 . 



Essendo F 4 superficie con curva canonica di ordine zero, la base inter- 

 mediaria yi , y 2 , C sarà pure minima ( 3 ) ; vale a dire, ogni curva esistente 

 sopra F 4 potrà esprimersi mediante una combinazione lineare 



xy\-\- yrt-\- & 



per valori interi (positivi, negativi, o nulli) di x , y 



A questa base è legata, nel senso stabilito da Severi ( 4 ), la forma 

 quadratica fondamentale 



f=4s 2 + 4xy -f- Qxz -f- Qyz , 



alla quale spettano le proprietà seguenti: 



1) Detta forma è equivalente, propriamente o impropriamente, a tutte 

 quelle formate io modo analogo colle altre basi intermediarie, e perciò mi- 

 nime, della superficie F 4 . 



2) La determinazione delle curve di grado (virtuale) n, esistenti 

 sopra F 4 , dipende dalla risoluzione in uumeri interi dell'equazione 



f= 4s 2 + 4xy -f~ § xs ~r ^V s — n ! 



( 1 ) Severi, Mem. cit. La base minima ecc., § 1. 



( 2 ) Severi, La base minima ecc., § 1, pag. 453, formola (4). 



( 3 ) Severi, Mem. cit. Complementi ecc., n. 7. 



( i ) Memoria cit., Complementi ecc., § 2. La forma quadratica fondamentale è, in 

 generale, ^nixU^h, dove le A,- sono le variabili, e i coefficienti na sono (ordinatamente) 

 gli elementi del determinante della base (D) 



