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e ad ogni soluzione così fatta corrisponde (con opportuna scelta del segno 

 di una, e conseguentemente delle altre variabili) uno ed un solo sistema 

 effettivo | xy x + yy% + sC | . 



3) Il gruppo delle eventuali trasformazioni birazionali di P 4 si ri- 

 specchia in un gruppo isomorfo [e, in questo caso, oloedricamente iso- 

 morfo (')] di sostituzioni lineari a coefficienti interi, di modulo ±1, della 

 forma f. Se la trasformazione birazionale considerata sopra F 4 muta la 

 base Yi > Yz , C nella nuova base (anche minima) 



r 



Yi = 



(1) Y\ = 



C' = 



«11 Yl + «12 Yì + «13 C 

 «21 Yl + «22 Yì + «23 C 

 «SI Yl + «32 72 + «33 C 



( | «ift | = — 1) , 



la forma f sarà mutata in sè dalla sostituzione lineare 



x' = a u x -f- «2i y -j- «31 £ 

 (2) y' =a it x -+- a t2 y -f- a 3 2^ 



s' = a 13 x -f- a 23 «/ + «33 ^ 



il cui determinante differisce dal precedente solo per lo scambio delle oriz- 

 zontali colle verticali. Questa proprietà non è però invertibile ; e vedremo che 

 esistono anche sostituzioni lineari di modulo rt 1 della forma f (ad es. quella 

 risultante dalla simmetria rispetto ad x ed y : x' = y , y' = x , / == z) , 

 alle quali non corrispondono trasformazioni birazionali di P 4 . 



2. È facile assegnare tre distinte trasformazioni birazionali della su- 

 perfìcie F 4 , colle relative sostituzioni (1) e (2); e, fra queste, due non pe- 

 riodiche, con che il gruppo complessivo di P 4 sarà certo infinito (discontinuo). 

 In seguito verrà dimostrato che questo gruppo complessivo è appunto quello 

 generato dalle tre trasformazioni anzidette. 



a) Le rette appoggiate a r x e r t (formanti perciò una congruenza 

 lineare) incontrano ulteriormente P 4 nelle coppie di punti di un'involuzione 

 razionale I ( 2 ), che lascia invariati i due fasci di cubiche y x e y 2 , subor- 

 dinando sopra ogni y, o y 2 la proiezione doppia dal suo punto di appoggio 

 a r 2 o risp. r l . Il sistema delle sezioni piane C verrà mutato in un sistema 

 (per ovvie ragioni di simmetria) del tipo x(y 1 -j- y 2 ) -f- z C : scrivendo che 

 questo sistema è. al pari di |C|, di grado 4 [onde f{x , x , z) = 4] e che 



(*) Invero, la sostituzione (1) potrebbe essere identica soltanto per una trasforma- 

 zione proiettiva sopra F 4 ; caso che qui è escluso. 



( 2 ) Questa involuzione conduce a rappresentare F 4 sopra una quadr^ca doppia (quale 

 è appunto, nello spazio S a rigato, la stessa congruenza di rette di direttrici r, . i\) con 

 curva di diramazione di 8° ordine, quadrisecante le generatrici di ambo i sistemi. 



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