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le sue curve incontrano le y t (o le y t ), anche al pari delle C, in 3 punti, 

 si hanno le due relazioni 



dalle quali si ricava bz 2 = 5 ; e perciò, escludendo la soluzione g = 1 , 

 x = 0, che darebbe di nuovo il sistema |C|, si conclude z = — 1 ,x — 3. 

 Alle C corrispondono dunque nella I le curve 3 (y l -f- y t ) — C ; e le sosti- 

 tuzioni (1) e (2) assumono perciò la forma: 



Interpretando x , y , z come coordinate proiettive omogenee di punto 

 nel piano, la sostituzione (2 a) è l'omologia armonica di asse z = e 

 centro (3 , 3 , — 2) . 



Lo stesso ragionamento prova altresì che non esiste sopra F 4 nessun'altra 

 trasformazione birazionale che lasci invariati ambo i fasci di cubiche y, 

 e Yt '■ u n a tale trasformazione, non potendo essere proiettiva, dovrebbe in- 

 fatti operare anche sopra jC|, e quindi sopra tutti i sistemi di curve di F 4 , 

 nello stesso modo della L, colla quale perciò coinciderebbe. Del pari, non 

 può esistere sopra F 4 nessuna trasformazione che scambii i due fasci \yi\ 

 e \y t \: invero, il sistema |C| non potrebbe essere mutato in sè, perchè la 

 trasformazione sarebbe proiettiva; dovrebbe dunque essere mutato di nuovo 

 nel sistema 3 (y, -f- y 2 ) — C ; e allora il prodotto di questa (supposta) tras- 

 formazione per la I sarebbe a sua volta una proiettività non identica ('). 



b) Una trasformazione non periodica r\ , la quale lascia ferme tutte 

 le cubiche y 1 , si può costruire nel modo seguente : 



Le cubiche yi sono incontrate dalla retta r x in terne di punti (A , B ,C), 

 e dalla retta r 2 in singoli punti (M), dei quali ultimi, sopra una y l gene- 

 rica, nessun multiplo è equivalente a un multiplo della terna precedente; 

 ciò avverrebbe soltanto quando il punto di appoggio ad r t , contato Sn volte, 

 costituisse per tale cubica l'intersezione unica con una curva del suo piano di 

 ordine n — fosse dunque un suo flesso, oppure punto sestatico, nonatico, ecc. — 

 il che non si verificherà sopra una F 4 generale del tipo considerato. Sarà 

 dunque razionalmente nota sopra le y x , e perciò sopra F 4 , la trasformazione 



(') La I, la sostituzione corrispondente al semplice scambio delle y t e y t (cioè 

 x' = y ì y' — x , z' = z), e il loro prodotto, sono, come è ovvio, sulla conica / = enei 

 suo piano, tre involuzioni od omologie armoniche mutuamente permutabili, formanti, in- 

 sieme coll'identità, un gruppo G t diedrico. Delle tre, la sola I corrisponde a un'effettiva 

 trasformazione birazionale sopra F 4 . 



4^ + 4a; l + 12^ = 4 



2x + 3* = 3 , 



