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birazionale non periodica rappresentata sulle y Y dalla relazione di equiva- 

 lenza fra gruppi di punti (*): 



P' = P + 3M — (A -f B + C) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ). 



Determiniamo ora la sostituzione (1) corrispondente a questa nuova tras- 

 formazione (per la quale sarà ancora y l ' = y 1 ). Applicando la formola pre- 

 cedente ai due punti intersezioni della curva y' 2 , trasformata di y 2 , colle 

 cubiche yi , vediamo che la curva (eventualmente virtuale) 



^ + 6r 2 — 2r, = y, + 6 (C - y t ) — 2 (C — = 2y, - 5y 2 + 4C 



deve segare le Yl in coppie di punti equivalenti a quelle segate dalla y\ 

 cercata ; essa non potrà dunque differire dalla y\ che per un multiplo della 

 curva stessa y, ( 5 ). Sarà dunque 



Yt = ky Y — 5y 2 -4- 4C , 



dove il coefficiente incognito k si può determinare mediante la condizione 

 che sia nullo il grado di y\, ossia f{k, — 5, 4) = 0; si ha così un'equa- 

 zione lineare in k, colla radice k — 14. 



Analogamente, poiché le C, e conseguentemente le loro trasformate C , 

 tagliano le in 3 punti, C potrà differire dalla curva 



C + 9r 2 — 3r, = C + 9 (C — y 2 ) — 3 (C — Yl ) = S Yl — 9y 2 -f 7C 



(*) Enriques, Sulle superficie algebriche che ammettono una serie discontinua di 

 trasformazioni birazionali, Rend. R. Acc. dei Lincei, ser. 5 a , voi. 15 (1906,), pag. 665. 



( a ) In altri termini, indicando con u l'integrale ellittico di l a specie sopra una y x 

 generica, e con a , b , c , m i suoi valori nei punti A , B , C , M , la trasformazione sarà 

 rappresentata analiticamente da u 1 = u + 3m — (a + b -f- c) (mod. 2« , 2«/). 



( s ) Questa trasformazione, mentre non è periodica sopra una y\ generica, è però 

 tale sopra quelle particolari y y per le quali il punto M = y t r a è punto sestatico, nona- 

 tico, ecc. ; ed è identica sopra le y t per le quali M è flesso, che sono in numero di otto. 

 Invero, imporre che M sia flesso per una , equivale a chiedere che la tangente in M 

 alla cubica y t sia ivi la seconda tangente principale di F 4 (la prima essendo r a ) . Ora le 

 seconde tangenti principali di F* nei punti di r s (ossia le tangenti in tali punti alle cu- 

 biche y*) formano una rigata di cui r a stessa è direttrice semplice, e generatrice qua- 

 drupla (in corrispondenza alle 4 cubiche y„ tangenti a r t ), e che ha in ogni piano per r, 

 tre generatrici, dunque di ordine otto; e le sue generatrici incidenti a r, determinano 

 sopra r s i punti M cercati. — Sopra ogni y t sarà infinitesima (in senso aritmetico) una 

 conveniente potenza dell'operazione T, ; potenza il cui esponente varierà però al variare 

 di quella y x . 



( 4 ) Indicando con X il punto tangenziale di M sopra ogni singola yi , sarà 

 2M + X = A + B + C; perciò P' = P + M— X, ossia P' + X = P+M. L'ope- 

 razione r, equivale perciò, sopra ogni /i , al prodotto della proiezione doppia da M e 

 della proiezione doppia da X; e, sopra F 4 , al prodottto dell'involuzione I per un'altra 

 involuzione, che trovasi considerata nella Mem. cit. di Sharpe e Snyder (ponendo ivi n = 1). 



( 5 ) Severi, Alcune relazioni di equivalenza tra gruppi di punti di una curva ah 

 gebrica o tra curve di una superficie. Atti R. Ist. Veneto, tomo 70 (1910-11), pag. 373; 

 ved. in particolare pag. 380. 



