solo per un multiplo di y, . Sarà dunque C = iyi — 9y 2 -f- 7C; e imponendo 

 che sia eguale a 4 il suo grado, ossia f(i, — 9, 7) = 4, si trova i = Sl. 



La trasformazione birazionale r Y della superficie F 4 opera dunque sulle 

 curve di questa superfìcie secondo la sostituzione (l b) qui sotto riportata, 

 che si rispecchia nella sostituzione (2 b), di modulo -j- 1 , della forma f: 



,Yi=Yi l af = % + 14 y -f 31 g 



(lb) ^ = 14^ — 5y, + 4C (2b)ìy' = — òy-9s 



[ 0' = 31 — 9y 2 + 7C ( . *' = 4# -f- 7* 



c) Un'analoga trasformazione r 2 , anche non periodica, si ha scam- 

 biando i fasci e \yì\; le sue equazioni si ottengono dalle precedenti 

 scambiando /, e /.j, a; e y: 



(le) y^= y 2 (2c) \y'= Uar + y + Sl* 



f C (1) = — 9/! + 31y, + 7C (/— 4z + 7* 



3. Poiché le operazioni I , f, e A , e conseguentemente anche i loro 

 prodotti, mutano i fasci di cubiche e |y,| in fasci di curve ellittiche 

 sopra F 4 , così, per procurarci una visione generale del gruppo complessivo 

 che nasce da queste operazioni, e per accertare se esso comprenda o meno 

 la totalità delle trasformazioni birazionali di F 4 , sarà utile determinare 

 tutti i fasci di curve ellittiche esistenti sapra F 4 , e perciò le combinazioni 

 x Yi 4~ VYi ~f" che risultano di grado (virtuale) zero; in altri termini, le 

 soluzioni in numeri interi, non tutti nulli, dell'equazione indeterminata 



f = 42* + Axy -f- 6x3 + 6ys = . 



Inoltre, poiché i fasci di curve ellittiche che a noi interessano, quali 

 trasformati di \y t \ e |y s |, sono costituiti da curve ellittiche effettive, irri- 

 ducibili, dovranno considerarsi come non rispondenti allo scopo le combina- 

 zioni xyi -j- yYì + *C che, pur avendo l'ordine 3 {x -f- y) -+- 4s >> e il 

 grado virtuale zero, conducono a sistemi riducibili, cioè a siatemi aventi una 

 parte rissa, oppure composti mediante un fascio. Distinguiamo tali sistemi, 

 per maggior chiarezza, nelle seguenti categorie: 



1°. Sistemi composti di un fascio di curve ellittiche (effettive, irriduci- 

 bili) e di una curva fìssa. Tali ad esempio i sistemi y 1 -f- r 2 = C -f- — y 2 

 e y 2 + r, = C — Yi +Yt- ■ 



2°. Sistemi composti di un sistema effettivo di genere >1, grado >0, 

 dimensione ^> 1, e di una parte fìssa, tali tuttavia che la curva complessiva 

 risulti di grado virtuale zero e genere virtuale 1 ; per esempio il sistema 

 C -4-2^1 = 30 — 2/j (e analogamente G~\-2r. 2 ). e così anche 



C -f- 2r } -f- r. 2 = 4C — 2y x — y 2 ; ecc. 



