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è unico, quando si ammetta la uniforme convergenza delle serie considerate, 

 per qualunque valore di x (ossia in tutto l'intervallo — oo < # < + °° ). 



Si potrà vedere facilmente come tutte le considerazioni di carattere 

 fisico, svolte nella Nota citata, si estendano a questo caso, e come anzi 

 acquistino maggior significato. 



2. Premettiamo il 

 Teorema I. — Se m funzioni soddisfano alla disequazione fun- 

 zionale 



>_ f r (x -f- a r t) 



(per qualunque x e t), si ha 



ove p r (z) è un certo polinomio di grado m — 2 , ed a r una funzione 

 avente modulo minore di 1. 



Per m = 2 , il teorema si dimostra facilmente. Infatti, dalla espressione 



| fi(x + <M) + fi{x + a t t) | O, 

 aumentando x in x-\-h, t in t-\-k, e ponendo poi 

 X l =h-\- a { k , A 2 = h -j- , 



si deduce 



(1) | fi(x + a x t + K) + f t (x + a,t + X t ) |< é ; 

 e quindi anche 



(2) l/Use+a,* +AJ — /, (a; + «,/) + A(cc + <M + A 8 ) — + a s t) | < 2* 



Se poniamo ora una volta A = a^fi , k = — fi , cioè A, == , ed una 

 seconda volta h = a 2 v , k = — v , cioè 4 2 = (con |« , v arbitrari), la pre- 

 cedente diseguaglianza si trasformerà rispettivamente nelle altre due dise- 

 guaglianze 



IA(* + «0-A(')l<2« 

 -M)— A(*)|<2^ 



nella prima delle quali si è posto 



z = x a-tt ; S = (« 2 — ffi) jtt , 



e, nella seconda, 



z = x-{-a l t ; (f = («! — «,) v ; 

 si scorge che z , S sono del tutto arbitrari. 



