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da cui finalmente, per la (4), 



f r {g)—p(s) = lr + ea r (g), 



cioè 



fri») = Ir + Pr(t) + s «r(«) • 



Resta così dimostrato il teorema I. 



4. Dimostriamo anche il 

 Teorema IL — Le funzioni soddisfacenti alla disequazione 



m 



ed aventi modulo finito sono del tipo 



fr(z) = C r + sa r (s) ; \a r (z)\<d 1 , C r = COSÌ , 

 V C r = . 



In effetti, la soluzione generale di tali disequazioni consta della somma 

 d'un polinomio di grado m — 2, e d'un prodotto «a r ; e quindi, se il mo- 

 dulo d'ogni f deve restar finito, dovranno mancare i termini contenenti po- 

 tenze di z, e quindi la f r sarà del tipo indicato. 



Se in particolare e = , si ritrova f r = cost. , ritornando così al teorema 

 della Nota citata. 



5. Servendoci di tali teoremi, possiamo ora far vedere che, a prescin- 

 dere dalle soluzioni f — cost , si ha il 



Teorema III. — - Le funzioni f soddisfacenti all'equazione 



V 

 T" 



fr{x -f art) = 



sono nulle (o costanti) se si impone ad esse la condizione di rendere la 

 serie uniformemente convergente nell'intervallo ( — co. -j- co ). 

 In effetti, se la serie converge uniformemente, sarà 



2_f r (x-\- Ort) 



lim s m = 



/ lin 



\ m— 



e quiudi, per il teorema II, deve essere 



f r (z) = é r m) + s m <>U) W r m \z)\ < 1 , (m = 1 , 2 , ...) 



cioè 



f r = lim e'! 1 -f- lim f m a r n) (z) = lira c ( r m) = cost. , 



formola che dimostra l'assunto. 



