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Infine dimostriamo il 

 Teorema IV. — Se una funzione Q(x , t) è sviluppabile in una 

 serie uniformemente convergente in tutto il campo ( — oo -f- oo ) 



G(x ,t) = ^_f r {x + a r t). 

 i 



tale sviluppo è, a meno di costanti additive, unico. 

 Infatti, una G ammetta i due sviluppi 



G(x, t) = X 9r( x + M) + Z + b r t) = 

 = \ h r (x -f- a r t) — X IA X ~f~ c rt) > 



in ciascuno dei quali nel primo sommatorio sono raggruppati i termini aventi 

 coefficienti a eguali a quelli dell'altro sviluppo. 



Sottraendo, dal primo sviluppo, il secondo, e posto d r = g r — h r , si ha 



X d r (x + a r t) + X*r(* + M) + Z -f-<V«) = 



identicamente, ove, giusta l'ipotesi, le serie convergono in modo uniforme. 

 Siamo quindi nelle condizioni del teorema III, in virtù del quale le fun- 

 zioni d,k,l devono essere nulle o costanti; e, a meno di costanti, sarà 

 perciò 



g r = h r ,k r — 0,l r = Q c. b. d. 



9. Le precedenti considerazioni dànno origine ad altri problemi : quali 

 p. es. l'effettiva determinazione delle f e delle costanti a, quando sia data 

 una G(x,t); la ricerca delle condizioni di rappresentabilità, ecc.: problemi 

 sui quali ci proponiamo di ritornare. 



Meccanica. — Sulle linee di forza ài un ellissoide di rota- 

 zione stratificato. Nota di Tommaso Boggio, presentata dal Socio 

 T. Levi-Civita. 



Il problema della determinazione delle linee di forza corrispondenti al- 

 l'attrazione esercitata da una distribuzione di massa, che attrae con legge 

 newtoniana, si può ricondurre, com'è ben noto, alle quadrature, se la massa 

 attraente è distribuita simmetricamente intorno ad un asse, cioè in modo 

 tale che la densità sia costante sopra circonferenze aventi il centro sull'asse 

 e situate su piani normali all'asse stesso. 



Una particolare e notevole distribuzione simmetrica di massa si ha nel 

 caso di un ellissoide di rotazione, stratificato omoteticamente; la determi- 

 nazione delle linee di forza relative è stata fatta dal Betti nel § XXIII 

 della sua opera: Teorica delle forze newtoniane ecc. (Pisa, a. 1879), il 



